Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования, оставляющие гамильтониан Н инвариантным,
поскольку, если f интеграл
движения, то {Н, /} = 0. Это как раз теорема, обратная той, которую мы
доказали чуть раньше: всегда можно найти интеграл движения, если известны
бесконечно малые преобразования, оставляющие Н инвариантным.
В заключение этого параграфа мы разберем движение точечной заряженной
частицы в электромагнитном поле. Уравнения движения мы выберем в форме,
вытекающей из (5.108) и (5.315):
qk = {qu, Н}, Рк = {Рк, Щ, (5.352)
- в форме, являющейся частным случаем (5.303). Гамильтониан этой
задачи можно получить из лагранжиана
[см. (2.507)]:
= у тх2 - еср + е {А • х), (5.353)
откуда сначала мы найдем:
р = тх-\-еА, (5.354)
142
а затем уже и гамильтониан:
Н = (р • х) - L = (р - еА)212т + ец>. (5.355) Уравнения движения примут
вид:
что эквивалентно (2.509) и может быть, следовательно, приведено к виду:
тх = е{Е+[х, Д]}, ? = _V<p-^-, fi = [V, А].
(5.359)
§ 5.4. Вариационные принципы; время и энергия как канонически сопряженные
переменные
Мы доказали в гл. 2, что принцип Д'Аламбера может быть выражен в форме
(2.229), которая, если воспользоваться (2.232), эквивалентна выражению
в (5.401) бл:г -любые вариации xit совместимые с кинематическими
соотношениями. Для того круга вопросов, к которому мы переходим, очень
существенно подчеркнуть, что при выводе (5.401) рассматривались такие
вариации, при которых время не варьировалось. Другими словами,
сравнивались точки на исходной и новой траекториях в одни и те же моменты
времени (точки А" и Вп на рис. 25).
В гл. 2 мы убедились также в том, что если сравниваются две допустимые
траектории при условии бXi = 0 как при t = ty, так и при t = t2,
уравнение (5.401) эквивалентно соотношению
х = {лг, Н}, р = {р, Н},
(5.356)
(5.357)
р = -eV<p + (e/m) [(р-еА), [V, А]], (5.358)
(5.401)
\8Ldt = 0
(5.402)
143
- выражению, из которого совершенно непосредственно вытекают
уравнения Лагранжа (2.308).
Теперь мы рассмотрим вариации орбит иного типа, а именно такие, когда
сравниваются Xi в момент t с Xi + AXi в момент t + At (точки Ап и Сп на
рис. 25).
На рис. 25 Aj, ...- точки исходной траектории, которые проходятся
соответственно в моменты времени fb t2, ¦ ; Вк, В2, ...- точки на новой
траектории, которые проходятся в те же самые моменты времени tlt t2, ...;
Сх, С2,...-точки на новой траектории, которые проходятся в варьированные
моменты времени ^-(-Д^, t2-\-At2,... Каждой точке Ап исходной траектории
сопоставляется точка Вп в тот же самый момент времени на новой траектории
на равных правах с точкой Сп в варьированное время на новой траектории,
так что можно записать:
X13 - Xia бЛГ/, .г
у ___ у I Л v Ш
xiC - XiA j- их I,
рис. 25. Вариация траекторий.
где 6лг; и ДXi связаны соотношением
AXi = bxt -f Xi At. (5.404)
Уравнения (5.402) были получены для А->-В-вариации.
Если нас интересует вариационный принцип для А-*-С-
вариации, нам следует принять во внимание, что теперь уже нужно
варьировать также и пределы интегрирования.
Прежде всего мы определим интеграл действия уравнением
I ~^2Т dt. (5.405)
и
Его вариация запишется следующим образом! и
6/ = 6 J 2Т dt =" 5 б (27) dt + 2T Ы ?' = и и
- { б (Т + U) dt + { б (Т - U) dt +2Т At ]J, и к
ш
или же
Ы = $ б ? Л + V щ (х.. AXl) f (5.406) t, i '
где были использованы (5.401) и (5.404) и тот факт, что Ы г= А/; кроме
того, мы применили основную формулу варьирования интеграла:
б \f(x) dx = \ б/ dx (р) 8р. (5.407)
р р
Причина, по которой мы можем воспользоваться (5.401) с бх,- (а не с
AjC;), состоит в том, что вариация времени учтена в выражении 2Т At для
двух граничных точек; иными словами: сначала сравниваются те части
исходной и новой траекторий, для которых t пробегает один и тот же
интервал, а затем уже рассматривается вклад от сегментов на двух концах
траекторий.
Первый вывод, следующий из (5.406), относится к случаю двух периодических
орбит, каждая из которых является допустимой орбитой; это означает, что
полная энергия Е является интегралом движения и, следовательно, не
варьируется на траектории. Если обозначить через т период движения по
орбите, мы получим:
(5.408)
или же
д!
т~дЁ> (5.409)
где через / обозначен интеграл действия, распространенный на полную
орбиту. Проинтегрированный член обращается в нуль, поскольку мы имеем
дело с двумя периодическими орбитами, так что выражения на верхнем и
нижнем пределах оказываются равными.
Соотношение (5.409) представляет интерес даже в одномерном случае, когда
можно вместо 2Т написать pq [ср. (2.302) и (2.310)], так что для / мы
получим:
/=* \ р$ dt = J pdq = &pdq, (5.410)
h 'i
146
где знак указывает на интегрирование по полному периоду. Согласно старой
квантовой теории интеграл в правой части (5.410) должен быть
проквантован; его нужно считать равным nh (h - постоянная Планка). Тогда
I = nh, (5.411)
и если мы применим (5.408) к конечным изменениям / и Е, т. е. к А/ и Д?,
мы получим:
А7 = /г и E = h со, (5.412)
