Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
иметь вид:
рг ~ и sin { -,
\ со sm л, у '
где пренебрежено квадратами отношения со[р\ со - угловая скорость
вращения Земли.
20. Исследовать движение ротора Фуко, представляющего собой твердый
цилиндр, вращающийся вокруг своей оси и подвешенный за ось в точке,
проходящей через центр тяжести цилиндра. Ось ориентирована в направлении
с востока на запад.
21. Гироскопический компас представляет собой гироскоп, вращающийся
вокруг своей оси и способный свободно поворачиваться в горизонтальной
плоскости. Предполагая, что центр гироскопа покоится относительно
вращающейся Земли, показать, что ось гироскопа, если она направлена па
север, может сохранять свое положение относительно Земли.
Угловая скорость гироскопа относительно его оси равна п, угловая скорость
Земли о), причем п 'р><.о. Показать, что если ось слегка возмущена, то
она будет колебаться относительно истинного направления на север с
периодом, приблизительно равным 2л ]/ A, 'Слоо cos Я, где А и С-
поперечный и аксиальный моменты инерции гироскопа, а X- широта точки, где
находится гироскоп.
Г л а в а 5
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе прежде всего будет рассказано о том, как можно описать
движение механической системы с s степенями свободы в 2&'-мерном фазовом
пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа.
Канонические преобразования обсуждаются весьма кратко, более подробно
рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно
канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов
движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло
рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В
последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из
вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как можно
рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами qk,
§ 5.1. Уравнения Гамильтона
На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа
во многих случаях являются Еесьма подходящим способом описания поведения
механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему s
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко
оказывается удобным перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, qh) величины qk и qk
не являются независимыми переменными, поскольку 4а -это производные по
времени от qk. Простейший путь перехода к независимым переменным состоит
в том, чтобы ввести s новых переменных, гк, согласно соотношениям
qk = rk. (5.101)
123
Урайпсння (5.101) предечавляют собой s обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка, связывающих .между собой 2s переменных qk и
гк. Лагранжиан представляет собой теперь функцию тех же самых 2s
переменных, L(q,n rh), а уравнения Лагранжа (2.308) теперь уже
превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка,
d dL OL r ,,
j/^Л02^ Уравнения (5.101) и (5.102) совместно образуют систему 2s
уравнений первого порядка, и таким образом поставленная задача решена.
Как и раньше, состояние механической системы полностью определено, если в
определенный .момент времени заданы значения всех qk п гк. Однако, если в
гл. 2 мы рассматриваем траекторию системы как кривую в s-мерном (/-
пространстве, теперь траектория системы представляется уже как кривая в
2s-McpnoM (q, /•)-пространстве.
Удобно вместо совокупности переменных qk, гк ввести другую совокупность
переменных, с помощью которых уравнения движения приобретают более
симметричный вид, чем уравнения (5,101) п (5.102). Мы снова обращаемся к
обобщенным импульсам рк, определяемым по (2.310); теперь (2.310)
запишутся так:
Рк Юо)
Эти соотношения, или, точнее, эти s уравнений совместно с тривиальными
равенствами qk = q;i и есть те уравнения, с помощью которых мы совершаем
преобразование от <7/., гк к <7/,, рк. Если мы хотим
записать уравнения
движения через переменные qh, рк, нам следует вместо
лагранжиана L (qk, гк) ввести гамильтониан системы, определив его
следующим образом:
//=>>/*-?. (5.104)
к
Теперь уже мы рассматриваем вариацию Я,
= Tj Pk$rk + 2] г!$Рк - б/- (5.105)
и и
Если воспользоваться уравнениями движения (5.101), 124
(5.102) и определением (5.103), мы убедимся, что
61=2щ^бс1к+2^тбГк=^к5с]к+2 р,^Гк' (5~106) к к к к
•гаи что
8Н = И nfiPk - Н РьЦь = Hi Ч>$Рк - Н Р^'- (5¦107) к к к к
Отсюда следует, что
.дН дН 1ЛО,
$к~ дрк' Р'<~ dqk ' (о. 108)
Полученные уравнения движения называются уравнениями Гамильтона или
каноническими уравнениями движения.
При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было
возможно, совокупностью координат qk, rk, чтобы подчеркнуть тот факт, что
мы оперируем с набором 2s независимых переменных. Очень часто, когда
излагают теорию уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, на это
обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и
