Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Угол и - это угол DFP на рис. 28, где CD параллельно оси г). Из рис. 28 и
из того, что длина OF равна аг, а отношение DH к СН равно отношению
большой и малой полуосей, легко получаются уравнения (6.153); так как ?2-
j-г]2 = г2, то непосредственно следует и (6.154).
Из (6.102) мы получаем для рх:
Теперь уже ясно преимущество введения эксцентрической аномалии: она
довольно просто связана со временем, хотя (6.157) в действительности
трансцендентное уравнение. Из (6.157) и (6.153) можно найти зависимость
истинной аномалии от времени. Уравнения (6.153), описывающие орбиту в
декартовых координатах, окажутся еще полезными в следующей главе.
Нам хочется выписать здесь еще выражение для параметра р эллипса. Этот
параметр равен значению г при
? = г cos % = а (cos и - е),
11 = т sin yw = а (1 - е2)1''2 sin и,
(6.153)
г = а (1 - е cos и).
(6.154)
(6.155)
а из (6.103) вытекает, что
Г
U
^ (1 - е cos и) du = и - г sin и. (6.156)
о
Объединяя (6.155) и (6.156), мы получим: и - е sin и = у it - 6).
(6.157)
164
Х = я/2, т. е. значению радиуса в точке пересечения эллипса с осью г]. Из
(6.152) и третьего из уравнений (6.150) получаем:
р=а(\ - еа) = а1/^. (6.158)
Мы обнаружили, что величина р не зависит от сси а зависит от а2, т. е.
только от полного момента импульса.
Резюмируем вкратце результаты наших расчетов в той части, которая
касается физического смысла а* и рА: величина ах определяет энергию или
же большую полуось (6.143) и (6.150)]; а2 - это полный момент импульса
(6.142)], определяющий совместно с ах эксцентриситет эллипса [(6.150)].
Константа а3 - компонента момента импульса вдоль полярной оси [(6.139)],
определяющая совместно с аа наклон орбитальной плоскости [(6.147)];
величина р3 -это долгота восходящего узла [(6.148)]. Значение ра
определяет направление на перицентр в орбитальной плоскости [(6.151)].
Наконец, pj дает связь между эксцентрической аномалией и временем
[(6.157)]. Величина б в (6.155) - шестая и последняя константа движения;
ее физический смысл состоит в том, что она дает время прохождения через
перицентр. Величины а* и рА называются элементами орбиты.
§ 6.2. Переменные "действие - угол"
Мы начнем с того, что займемся одномерной системой. Допустим, что
движение периодическое. Периодическое движение может осуществляться двумя
различными путями. Либо различным значениям q соответствуют различные
состояния системы и обе функции р и q являются периодическими функциями
времени: спустя период т обе функции р и q возвращаются к тем же самым
значениям (либрация-, см. рис. 29, а); либо всякий раз, когда координата
q возрастает на определенную постоянную величину q0, повторяется то же
самое состояние системы: через период т величина р принимает то же самое
значение, но величина q возрастает на q0 (вращение-, см. рис. 29, б). В
одной и той же системе могут осуществляться и либрация, и вращение.
Простой маятник, например, совершая малые колебания, обнаруживает
либрацию; однако если энергия, сообщенная маятнику, достаточна, чтобы он
перекидывался через верхнюю точку, он будет вращаться. Вообще говоря,
первый случай обычно имеет место тогда, когда
166
система движется между двумя состояниями, в каждом из которых
кинетическая энергия обращается в нуль; во втором же случае всегда можно
за координату q выбрать угол и так выбрать ее масштаб, чтобы q0 было
равно 2л.
Допустим, что решение уравнения Гамильтона - Якоби для нашей системы
найдено и что аир, возникающие в результате решенни,- новые канонические
координаты.
Р
+ 4
а]
5}
Рис. 29. Траектории в фазовом пространстве, соответствующие возможным
одномерным периодическим движениям: а) либрация; б) вращение; в)
траектории простого маятника, обнаруживающие как либрацию, так и
вращение.
Мы знаем, что в этом случае (3 должно быть линейной функцией времени t
[см. (6.102)]:
Р = 7 (*-*")• (6.201)
Тогда у нас открываются две возможности:
либрация: q ф + = q(P), (6.202 а)
вращение: q (Р + 7т) = q (j3) 2л. (6.202 6)
Тогда можно совершить преобразование от а и р к новой
совокупности канонических переменных J и w, та-
ких, что
w = р/7 т. (6.203)
166
Уравнения (6.203) представляют собой "точечные" пре-
образования типа (5.221, IV) или (5.203) и соответствуют, таким образом,
каноническому преобразованию. Действительно, оно порождается функцией
Мы можем записать теперь (6.202) через переменную ш:
Каноническое преобразование отридк/иш является преобразованием Гамильтона
- Якоби; поскольку преобразуемый гамильтониан был функцией только а и
поскольку J не содержит |3, преобразованный гамильтониан И будет функцией
только от J. Пусть 5 (q, J) будет функцией Гамильтона - Якоби,
порождающей это преобразование, так что
W§Pd4 = W§%d4 = §Wdq=§dw==U (6-209)
где знак $ указывает на интегрирование по полному периоду и где
использовано то обстоятельство, что w выбрано так, что оно увеличивается
ровно на единицу за период [см. (6.206)]. Из (6.209) вытекает, что
