Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
' Jmt! bqn о Pi! Ър" dq-,
к
{/, g}\ (5.319)
'Тим и завершается наше доказательство.
Перейдем теперь к интегралам движения; здесь нам понадобится так
называемое тождество Якобн:
{/. {Я. Л}} + {?, {К /}} + {Л, {/, g}} = 0. (5.320)
Доказательство соотношения (5.320) утомительно, но несложно, и мы оставим
его читателю; отметим только полезное соотношение:
{/, Л}+{/. Z\h- (5-321)
Пз раиснства (5.303) следует, что необходимым и достаточным условием
того, чтобы функция F была бы
интегралом движения, будет условие
{/', Я} = 0. (5.322)
Если воспользоваться формул эн (5.320), положив там f*¦¦¦%F, gs&G и
hssIJ, где // - гамильтониан системы, а Г и 6' -интегралы движения, мы
найдем:
{//,>, G})=-{F, {G, H}} + {G, {F, Н)} - 0; (5.323,
другими словами: если функции F и G являются интегралами движения, то их
скобка Пуассона также будет интегралом движения. Очень часто таким
способом можно построить новые интегралы движения; очень часто, но далеко
не всегда. Мы вскоре в этом убедимся.
В качестве примеров интегралов движения мы можем упомянуть полный момент
импульса и полный нмпульс системы частиц. Мы остановимся на свойствах
этих величин несколько подробнее.
11ачнем с вектора момента импульса системы частиц М. Допустим, что
система может быть описана декартовыми ¦лоордиматамп хь так что
обобщенными импульсами будут обычные импульсы Вектор полного момента
импульса определяется согласно (1.309) и записывается через лг/ и
136
Pi в виде:
M = ^[xhPi]. (5.324)
i
Из (5.324) и (5.307) нетрудно получить, что {Мх, МУ} = М" {Му, Мг} = Мх,
{М" МХ) = МУ. (5.325) Можно доказать также и следующие соотношения: {М2,
Мх} = 0, {АР, Му} = 0, {М2, Mz} = 0; (5.326)
{Рх, Мх] = 0, {Ру, A-U = 0, {Рг, МЛ= 0;
{Рл, М2} = 0, {Ру, М>} = 0, AI2} = 0;
{Р,, М,} = {МЛ, />"} = />" (5.327)
{/>,, = />,} = />"
{Рг, Мх} = {Мг, РХ} = РУ,
где через Р обозначен полный импульс системы:
p = Zp- (5-328)
(
Из (5.328) н (5.307) вытекает, что для любой пары компонент Рк и Pt
вектора Р мы получим: {Pk, Pt}- 0.
В гл. 2 рассматривалась связь между бесконечно малыми преобразованиями и
интегралами движения. Мы еще раз вернемся к этой связи, но на этот раз с
точки зрения уравнений Гамильтона.
Допустим, что гамильтониан Н инвариантен относи тельно бесконечно малых
преобразований такого вида, что только одна из обобщенных координат
изменяете i (скажем, qk0), тогда как все остальные координаты и все-
импульсы остаются без изменения; это означает, что
6Я = 0, если qka -*¦ qua + 6<7а", (5.329)
или же
#L = o. (5.330)
Из (5.330) и (5.315) вытекает, что
{Н, Pk.}= 0, (5.331
и рь0 оказывается, таким образом, интегралом движения. (Можно, конечно,
сразу из (5.330) и (5.108) получить, что pka = 0, т. е. что риа -
константа.)
Часто можно указать целый класс преобразований включающий в себя
бесконечно малые преобразования.
137
относительно которого гамильтониан Н остается инвариантным; однако не
всегда легко найти ту конкретную координату qk0, которая соответствует
этим бесконечно малым преобразованиям; поэтому не всегда сразу ясно,
какая функция координат и импульсов будет интегралом движения.
Два простейших случая, которыми мы и ограничимся,-трансляционная и
поворотная инвариантность. В двух этих случаях мы сможем найти конкретную
qka, соответствующую бесконечно малым преобразованиям. Обсуждая
трансляционную и поворотную инвариантность, мы будем предполагать, что
можем обойтись декартовыми координатами xt (i- 1, ..., N).
Начнем с трансляционной инвариантности. Это значит, что гамильтониан Н
инвариантен относительно преобразований
Xi-^Xi + г, г'= 1, ..., N. (5.332)
Координаты qko, которые нас интересуют, - это, конечно, три компоненты
радиус-вектора центра масс системы, так что компоненты вектора полного
импульса системы Р, определяемого согласно (5.328), оказываются
интегралами движения. Это можно доказать следующим образом. С одной
стороны, мы имеем:
{р, н\ = 2] {р" щ = - Z v<-н- (5-333)
i i
где мы воспользовались (5.315). С другой стороны, из изменения 6//
гамильтониана при преобразованиях (5.332)
и из требования, чтобы 6/7 = 0 для любого е, вытекает,
что 2 V,-# обращается в нуль; таким образом, из (5.333)
i
мы и получаем, что три компоненты Р являются интегралами движения.
Мы увидим ниже, что про вектор Р можно сказать, что он порождает
трансляцию. В этой связи интересно рассмотреть изменение функции / от
координат л;, при преобразовании (5.332). Мы найдем:
б/ = 2 ("*, • V,-/j = (е • {/, Р}). (5.335)
138
Очень сходна ситуация и для поворотной инвариантности. Здесь нас
интересует преобразование
¦**-*-¦** +[е, JC/], i = 1....М;е = я69, (5.336а)
соответствующее вращению вокруг оси, параллельной единичному вектору п,
на угол 69. Преобразование (5.336а) справедливо для всех векторов в
декартовой системе координат, так что, определяя изменение в
гамильтониане или какой-либо иной функции от Xi и pt, мы должны помнить,
что импульсы Pi преобразуются в точности так же, а именно согласно
