Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
линейными функциями типа тех, которые появляются в задачах с
1.0. Существование и единственность решений
21
трением и переменным направлением скольжения, а также в задаче о часах
(см. Андронов и др. [1966], стр. 186).
Интуитивно ясно, что любое решение может покинуть U через достаточно
большое время. Поэтому мы говорим, что данная теорема лишь локальна. Мы
легко можем построить векторные поля /:[/-> R" такие, что x(t) покидает
любое1 подмножество U С R" за конечное время, например, уравнение
х = 1 + х2 (1.0.5)
имеет общее решение x(t) = tg(t + c). Таким образом, хотя существует
много уравнений на некомпактных фазовых пространствах (таких как R"), для
которых решение существует во времени глобально, мы не можем утверждать
этого в конкретных случаях без дальнейшего исследования.
Неподвижные точки, называемые также положениями равновесия, составляют
важный класс решений дифференциального уравнения. Неподвижные точки
определяются как нули векторного поля f(x): f(x) = 0. Неподвижная точка
называется устойчивой, если всякое решение с близкой базой остается
близким к ж во все время, т. е. для любой окрестности V точки х из U
существует окрестность V\ С V такая, что любое решение х(хо, t) с хо ? V
определено и лежит в V при всех / > 0. Если, кроме того, V\ можно выбрать
так, что x(t) -" х при t -> оо, то х называют асимптотически устойчивой.
Смотрите рис. 1.0.2.
а) Ь)
Рис. 1.0.2. (а) Устойчивость; (Ь) асимптотическая устойчивость.
Упражнение 1.0.1. Покажите, что неподвижные точки обеих систем
(а) х = у, у = -х\
(б) х = у, у = -х - у
10граниченное. - Прим. пер.
22
Глава 1
устойчивы. Какая из них асимптотически устойчива? (Обычный уровень
сложности.)
Тип устойчивости, показанный на рис. 1.0.2(a) иногда называют
нейтральным, он типичен для таких неподвижных точек, как центры.
Асимптотически устойчивые неподвижные точки называют стоками. Неподвижная
точка называется неустойчивой, если она не является устойчивой; примерами
таких равновесий являются седловые точки и источники. Устойчивость
неподвижных точек подробно обсуждается в Hirsch, Smale [1974, глава 9].
Определенные выше понятия устойчивости локальны по своей природе: они
связаны лишь с поведением решений вблизи неподвижной точки х. Даже если
такие решения остаются во все время ограниченными, другие решения могут
глобально не существовать.
УПРАЖНЕНИЕ 1.0.2. Найдите неподвижные точки для уравнения х = - х + х2 и
выясните их устойчивость. Покажите, что это уравнение допускает, наряду с
решениями, существующими при любом времени, также решения, которые
становятся неограниченными за конечное время. (Данное уравнение допускает
прямолинейное решение, однако эта интерпретация поведения решений может
оказаться для вас новой.)
Часто для того чтобы показать ограниченность x(t) для всех t и всех
(ограниченных) начальных значений ж(0), достаточно использовать метод
функций Ляпунова, связанный с построением некоторой величины типа
энергии, убывающей для достаточно больших значений |ж|. Ввиду такой
полезности данного метода мы кратко опишем его для полноты изложения.
Больше подробностей можно найти в Hirsch, Smale [1974, §9.3] или в
LaSalle, Lefschetz [1961].1 Данный метод предполагает отыскание некоторой
положительно определенной функции V: U -> R", называемой функцией
Ляпунова, которая убывает вдоль фазовых кривых дифференциального
уравнения:
Теорема 1.0.2 (Hirsch, Smale [1974], стр. 192). Пусть х - неподвижная
точка уравнения (1.0.1), V: W -" R(tm) - дифференцируемая функция,
определенная в некоторой окрестности W С U точки х, такая, что:
(i) V(x) = 0 и V(x) >0 для х Ф х;
(ii) V(x) ^ 0 в проколотой окрестности W - {ж}.
Тогда неподвижная точка х устойчива. Более того, если
(iii) V(х) < 0 в W - {х\, то х асимптотически устойчива.
Здесь
П
П
1 См. также Руш, Абетс, Лалуа. - Прим. пер.
1.0. Существование и единственность решений
23
представляет собой производную от V вдоль фазовых кривых уравнения
(1.0.1).
В случае, если можно выбрать W{= U) = R" в соответствии с условием (iii),
ж называют глобально асимптотически устойчивой, при этом можно сделать
вывод, что все решения остаются ограниченными и в действительности
приближаются к ж при t ->¦ оо. Таким образом, устойчивость равновесий и
ограниченность решений можно проверить, не решая фактически
дифференциальное уравнение. Однако не существует общих методов отыскания
подходящих функций Ляпунова, хотя в задачах механики зачастую хорошим
кандидатом является энергия.
Пример. Рассмотрим движение частицы массы ш, прикрепленной к пружине
жесткости к(х + ж3), к > 0, где х - перемещение.
Дифференциальное уравнение, описывающее движение системы, таково:
Можно заметить, что Е(х, у) является функцией Ляпунова для (1.0.7), так
как _Е(0,0) = 0 в (единственном) положении равновесия (.х,у) = (0,0) и
Е(х, у) > 0 для (ж, у) ф (0, 0). Кроме того, мы имеем
Ё = туу + к(х + х3)х = -ку{х + ж3) + к( ж + ж 3)у = 0; (1.0.9)
