Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеет места в нелинейных системах. Однако такая проблема для системы
(1.1.1) не стоит: ее решение дается формулой
(1.1.1)
[1971].
ж(0) = жо;
(1.1.2)
x(xq, t) = etAxo,
(1.1.3)
где etA - матрица п х п. Мы увидим в подходящий момент, как удобнее
i А
всего вычислять е , но сначала заметим, что эта матрица определяется при
1.1. Линейная система х = Ах
21
помощи сходящегося ряда
etA = [i + tA + |д2 + ... + gАп + ...] (1.1.4)
Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что формула (1.1.3) с
учетом (1.1.4) действительно задает решение задачи (1.1.1) (1.1.2).
Общее решение системы (1.1.1) можно получить как линейную комбинацию п
линейно независимых решений {ж1 (t), ..., xn(t)}\
П
x(t) = J2c3x3(t')' (1Л-5)
j=i
где п неизвестных констант Cj определяются начальными условиями. Если
матрица А имеет п линейно независимых собственных векторов гД, j = 1,
..., п, то мы можем принять за базис пространства решений векторнозначные
функции
xJ (t) = ^ (1.1.6)
где A j - собственное значение, соответствующее vJ. Для простых
комплексных собственных значений A j, A j = a.j ± ifij мы можем принять
х5 = ea6(vR cos gt _ v* sjn an
(117)
xj+i = sin [3t + vl cos fit)
в качестве соответствующей пары (вещественных) линейно независимых
решений. При наличии кратных собственных значений и числе собственных
векторов менее п можно построить присоединенные векторы, как описано,
например, в Braun [1978] (Гантмахер, пер.). В результате мы вновь получим
множество из п линейно независимых решений. Обозначим матрицу
фундаментальных решений, столбцами которой являются эти п решений, как
X(t) = [x1(t), xn(t)]. (1.1.8)
Столбцы xJ(t), j = 1, п матрицы X(t) образуют базис в пространстве
решений уравнения (1.1.1). Нетрудно показать, что
etA=X(t)X~l( 0). (1.1.9)
Доказательство этого факта мы вновь оставляем читателю в качестве
упражнения.
28
Глава 1
Упражнение 1.1.1. Вычислите едля
А =
Затем решите уравнение х = Ах с начальными условиями
Хо = I 1
-2
Что вы скажете о двух последних решениях? Внимательно изучите геометрию
этих решений и собственных подпространств.
Уравнение (1.1.1) также можно решить, предварительно отыскав обратимое
преобразование Т, которое диагонализирует матрицу А или, по крайней мере,
приводит ее к жордановой нормальной форме (в случае кратных собственных
значений). Уравнение (1.1.1) примет вид
У = Jy, (1.1.10)
где J = Т~гАТ их = Ту. Уравнение (1.1.10) просто для работы, однако,
поскольку столбцы матрицы Т являются собственными (или присоединенными)
векторами для А, общий объем вычислений будет таким же, как в предыдущем
методе. Экспоненту etA можно вычислить как
etA = TetJT~1 (1.1.11)
(см. Hirsch, Smale [1974], стр. 84-87), где для жордановых матриц второго
порядка экспоненты таковы:
D А11
А =
А =
А =
Ai
0
а
Р
А
1
0
А2
-Р
а
0'
А
"tA
АА
АА
0
о
о А2 t
cos [it sin fit
- sin (it cos fit
(1.1.12)
"At
Заметим также, что всякий собственный вектор vJ, отвечающий вещественному
собственному значению А у матрицы А, является для матрицы еА собственным
вектором с собственным значением еА'. Кроме того, если span{Re(wJ),
Im(wJ)} - собственное пространство, отвечающее комплексно сопряженной
паре А у, Ау, то оно также является собственным простран-
А,
"А, 1
ством, отвечающим е
1 Для матрицы ел. - Прим. перев.
1.2. ПОТОКИ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
29
1.2. Потоки и инвариантные подпространства
Матрицу etA можно рассматривать как отображение из 1" в К": для любой
точки хо ? R" x(xo,t) = etAxo представляет собой точку, в которой будет
находиться решение с базой в хо через время / . Следовательно, оператор
etA содержит глобальную информацию о множестве всех решений уравнения
(1.1.1), так как формула (1.1.3) справедлива для всех точек хо ? R". Как
и в общем случае, описанном в разделе 1.0, мы будем говорить, что etA
определяет поток на R(tm) и что этот поток (или "фазовый поток") порождается
векторным полем Ах, определенном на Rra: etA является нашим первым
конкретным примером потока фг.
Поток etA: R" ->¦ R" можно понимать как множество всех решений уравнения
(1.1.1). В этом множестве некоторые решения играют особую роль: те,
которые лежат на линейных подпространствах, натянутых на собственные
векторы. Эти подпространства инвариантны относительно etA, в частности,
если vJ - (вещественный) собственный вектор А, и, следовательно, etA, то
решение с базой cjvJ ? R(tm) остается в spanwJ все время. В самом деле,
x(cv\ t) = cv-'eXjt. (1-2.1)
Аналогично, (двумерное) подпространство, натянутое на span{Re(wJ),
\m(vJ)}, где v] - комплексный собственный вектор, инвариантно
относительно etA. Короче говоря, собственные пространства А являются
инвариантными подпространствами для потока. В свете этого обсуждения
стоит вернуться к упражнению 1.1.1.
Мы будем разделять подпространства, натянутые на собственные векторы, на
три класса:
устойчивое подпространство, Es = spanjw1, .... г>"'},
неустойчивое подпространство, Еи = spanj^1, ..., и""},
