Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
уравнений и итеративных отображений. Однако, поскольку мы также хотим
передать важную аналитическую подоплеку этих иллюстраций, мы считаем
существенной частью книги многочисленные упражнения, многие из которых
требуют нетривиальных алгебраических выкладок и даже работы на
компьютере. В частности, прямое наблюдение за графическим дисплеем при
построении численных решений систем дифференциальных уравнений,
представленных в главе 2, позволяет приобрести неоценимый опыт
Предисловие
9
для развития интуитивного понимания их свойств. Для попутной помощи
читателю мы попытались указать, какие из упражнений являются просто
рутинными приложениями теории, а какие требуют более существенных усилий.
Однако мы предупреждаем читателя, что ближе к концу книги, и особенно в
главе 7, некоторые из наших упражнений резонно рассматривать как материал
для диссертаций.
Мы решили сконцентрироваться на приложениях в области нелинейных
колебаний по трем причинам:
(1) В этой области существует много важных и интересных задач.
(2) Данная тема достаточно проработана, и имеется много трудов,
посвященных классическим методам анализа относящихся к ней проблем,
включая хорошие книги Stoker [1950], Minorsky [1962], Hale [1962], Хая-ши
[1964], Nayfeh и Mook [1979]. Геометрический анализ двумерных систем
(свободные колебания) хорошо представлен также в книгах Lefschetz [1957]
и Андронова с соавторами [1966, 1971, 1973].
(3) Наиболее абстрактные математические примеры, известные в теории
динамических систем, находят "естественное" представление в задачах
нелинейных колебаний.
В этом контексте данную книгу следует рассматривать как попытку
расширения результатов работы Андронова и др. [1966] на системы с
размерностью на единицу большей. Эта цель не столь скромна, как может
показаться: как мы увидим, кажущееся невинным добавление (малой)
периодической силы f(t) = f(t+T) к нелинейному осциллятору с единственной
степенью свободы
х + д(х, х) = 0, порождающее систему третьего порядка
х + д(х,х) = f(t),
ИЛИ
х = у,
у = -д(х, у) + /(6"),
6 = 1,
может привести к бесконечному несчетному множеству новых явлений, в
дополнение к неподвижным точкам и предельным циклам, знакомым из теории
нелинейных колебаний на плоскости.
Несколько упрощенное наблюдение, содержащее, тем не менее, долю истины,
состоит в том, что чистый математик стремится получить какое-либо
приятное (или неприятное) свойство, а затем построить некоторую
динамическую систему, решения которой обладают этим свойством. Напротив,
традиционная роль прикладного математика или инженера состоит в
исследовании данной системы (или, возможно, построенной им модели) и
10
Предисловие
отыскании свойств, которыми она обладает. Мы, главным образом, принимаем
вторую точку зрения, однако наше изложение может иногда казаться
шизофреничным, так как мы применяем идеи первой из групп к задачам второй
группы. Более того, мы твердо убеждены, что невозможно определить
свойства конкретных систем без знания всех возможностей, которые зачастую
могут быть выявлены лишь в рамках общей абстрактной теории. Практика и
теория должны развиваться рука об руку.
Содержание этой книги
Данная книга касается приложения методов теории динамических систем и
теории бифуркаций к изучению нелинейных колебаний. Математические модели,
которые мы рассматриваем, представляют собой (достаточно малочисленные)
множества обыкновенных дифференциальных уравнений и отображений. Многие
результаты, обсуждающиеся в данной книге, могут быть перенесены на
эволюционные системы бесконечной размерности, возникающие из
дифференциальных уравнений в частных производных. Однако, большинство
идей наиболее легко усвоить в конечномерном контексте, поэтому мы будем
его придерживаться. Почти все описанные нами методы можно также обобщить
на динамические системы на дифференцируемых многообразиях, однако мы
вновь ограничиваем изложение системами с евклидовым фазовым
пространством, чтобы не перегружать читателя техническими деталями. Тем
не менее, в конце последней главы мы добавили несколько замечаний о
дифференциальных уравнениях с частными производными.
В главе 1 мы приводим обзор основных результатов теории динамических
систем, относящихся как к обыкновенным дифференциальным уравнениям
(потокам), так и к дискретным отображениям. (Мы концентрируемся на
диффеоморфизмах - гладких обратимых отображениях.) Мы обсуждаем связь
между диффеоморфизмами и потоками, получаемую при помощи отображений
Пуанкаре, и заканчиваем обзором относительно законченной теории
дифференциальных уравнений на двумерной плоскости. Наше обсуждение
движется достаточно быстро и местами весьма поверхностно. Однако основная
часть данного материала была очень подробно рассмотрена в книгах Хирша и
Смейла [1974], Irwin [1980], Палиса и ди Мелу [1982], а с точки зрения
колебаний - в книгах Андронова с соавторами [1966, 1971, 1973], и мы
отсылаем читателя к этим текстам за дальнейшими деталями. Здесь ситуация
