Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
показывающее существование бесконечного семейства таких орбит, а также
семейств ограниченных непериодических движений. Перед этим заметим, что
эксперименты, упомянутые в работе Wood, Byrne [1981], свидетельствуют,
что устойчивые периодические движения мяча наблюдаются для низких
скоростей стола (7 мало), а при возрастании 7 возрастает и нерегулярность
движений, и они становятся по виду хаотичными. В оставшейся части
142
Глава 2
Период 2,д=1
Рис. 2.4.1. Движения периода 1 и периода 2,а = 0,9. Движения периода 2
возникают при бифуркациях переворачивания при у - 7^: (а) бифуркационная
диаграмма; (Ь) физические движения.
данного раздела, а также в главе 5 мы покажем, что отображение (2.4.4)
действительно обладает такими движениями в силу существования подковы
Смейла (Smale [1963, 1967]), т. е. сложного инвариантного множества,
содержащего бесконечные семейства вышеупомянутых периодических и
непериодических орбит.
Так как множество, которое мы ищем, имеет глобальную природу, рассмотрим
глобальное действие отображения / на некоторую замкнутую об-
2.4. Динамика подскакивающего мяча
143
Рис. 2.4.2. Создание подков при увеличении у, для случая сохранения
площади, а = = 1. Точки А, В, С, D отображаются в точки А', В', С', D':
(а) у = 37г; (Ь) у = 5л.
ласть Q С S1 х R. Для простоты возьмем случай сохранения площади а = = 1,
имея в виду справедливость полученных результатов для значений а,
достаточно близких к единице. Определим Q как параллелограмм ABCD,
ограниченный прямыми ф + и = О (АВ), ф + и = 2-к (CD), ф = О (AD) жф = 2-
к (ВС). Заметим, что Q расслаивается семейством прямых ф+и = к, к € [0,
2-7г] и что образами этих прямых при отображении / являются вертикальные
отрезки^ = к, v G [к - 27Г - у cos к, к - у cos к]. Наконец, образами
144
Глава 2
границ ф = 0 и ф = 2тт являются кривые v = ф - 7 cos ф, v = ф - 2тг - - 7
cos ф. Так как а = 1 и мы берем ф по модулю 2тг, четырехугольник Q можно
сдвигать вдоль вертикали на величину, кратную 2тг. На рис. 2.4.2 область
Q ограничена прямыми ф + р = 0, ф+р = 2тт, ф = 0 и ф = 2тг, здесь
изображены ее образы при отображении / для значений 7 = Зл и 7 = = 57Г.
Если а / 1, то образы, очевидно, изменятся ввиду наличия члена ар в
уравнении (2.4.4): см. рис. 2.4.3.
Если мы возьмем 7 достаточно большим, образ f(Q) пересечет Q по двум
раздельным "вертикальным" полоскам V\, V2, заштрихованным на рис.
2.4.2(b) и 2.4.3(c). Для этого достаточно выбрать в случае сохранения
площади 7 > 47г. Для читателя не составит большого труда убедиться в том,
что прообразы этих полосок /_1(V)) представляют собой пару раздельных
"горизонтальных" полосок Н\, Но, соединяющих вертикальные стороны AD и ВС
четырехугольника С), как показано на рис. 2.4.2. Таким образом,
схематично мы имеем качественное поведение, изображенное на рис. 2.4.4:
отображение / растягивает четырехугольник Q в вертикальном направлении,
сжимает его в горизонтальном направлении, изгибает и смещает, в
результате чего пересечение имеет указанный вид. Это отображение носит
название подковы Смейла, смысл которого самоочевиден. В последующих
главах мы покажем, что подкова возникает в связи с транс-версальными
пересечениями многообразий в уравнениях Дуффинга и Ван дер Поля. В
действительности, присутствие подковы по существу является для
большинства авторов синонимом термина "хаотическая динамика". Правильное
представление о подкове существенно для понимания сложной динамики.
Мы подробно изучим подкову и ее обобщения в главе 5. Здесь мы просто
отметим, что если взять еще одну итерацию отображения /, то образ f(Vi)
каждой из вертикальных полосок сам по себе является подковообразной
областью, пересекающейся с исходным четырехугольником Q по двум более
тонким вертикальными полоскам. Таким образом, множество
Л-1 = Qn f(Q) П f{Q)
состоит из четырех отдельных вертикальных полосок. Аналогично, если взять
обратные итерации, то мы получим множество
л1 = ЯпГ1(СЭ)пГ2(СЭ),
состоящее из четырех отдельных горизонтальных полосок. Вообще, множества
п п
л" = п/*(?)> Al = f)f~k(Q)
k=0 k=О
2.4. Динамика подскакивающего мяча
145
Рис. 2.4.3. Создание подковы а = 0, 5, п = 3: (а) 7 = 0; (Ь) 7 = 37г =
7"; (с) 7 =
= бтг > 7^.
146
Глава 2
D С
Рис. 2.4.4. Подкова.
состоят из 2й вертикальных (или горизонтальных) полосок каждое. При
равномерном выборе коэффициентов растяжения и сжатия, как будет показано
в главе 5, предельные множества
СО СО
л"°°=П Л"=П
А:=0 к=0
состоят из несчетного набора линий каждое. В действительности, эти
множества являются произведениями некоторого канторова множества и
интервала.
Далее, множество
оо
Л = Л-пЛ^= П f\Q)
к= - со
в точности равно множеству тех точек р ? Q, которые остаются в Q при всех
прямых и обратных итерациях отображения /. Следовательно, это наибольшее
инвариантное множество, содержащееся в Q (заметим, что мы не оговаривали
явно, что происходит с теми точками, которые стартуют вне Q или покидают
