Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
устойчивых неподвижных точек. В терминах раздела 1.6 притягивающее
множество содержит два простых аттрактора, и, несмотря на наличие
сложного рекуррентного поведения, почти все его точки блуждающие.
Напротив, для отображения Лоренца не существует таких устойчивых стоков
или периодических орбит, и почти все орбиты продолжают непредсказуемо
двигаться взад и вперед, за исключением (неустойчивых) периодических
орбит, асимптотических к ним орбит и орбит, попадающих в нуль и
обрывающихся. Такие исключительные орбиты образуют в I множество нулевой
меры.
Как и в разделе 2.1, мы проиллюстрируем типичное поведение отображений,
подобных 2.3.4, при помощи численного примера. Возьмем отображение
к^О
х е [-1, о), х е (о, 1],
(2.3.6)
2.3. Уравнения Лоренца
133
1
fix)
-1 х i
Рис. 2.3.5. Отображение уравнения (2.3.6). /3 = 1,95 (а = 0,514).
Рис. 2.3.6. Орбиты отображения уравнения (2.3.6): (а) р = 1,95, хо = 10
8; (Ь) р = = 1,95, хо = 0,9999 • 10~8; (с) р = 1,95, х0 = 1,0001 • 10~8;
(d) р = 1,95000001, х0 = 10"8.
определенное на I = [-1,1] с обрывом орбиты в точке х = 0. Если выбрать а
< 1, Р ? (1, 2) и а/3 > 1, то производная f = а/3|а;|"-1 всюду больше
единицы. Заметим, что f'(x) -> оо при х -> 0. Для расчетов возьмем а =
1//3 + 0,001, так что производная вблизи конечных точек очень близка к
единице, что отражает медленное нарастание колебаний вблизи спиральных
седел q±, показанное на рисунке 2.3.2. Данное отображение показано на
рисунке 2.3.5.
Рисунок 2.3.6 иллюстрирует чувствительную зависимость от начальных
условий и от значения параметра /3. В каждом из случаев показано 100
итераций. Для рисунков 2.3.6(а)-(с) мы взяли /3 = 1,95 и начальные
значения ж0, равные 10-8, 10-8 - 10-12 и 10-8 + 10-12 соответственно. Для
2.3.6(d) положено /3 = 1,95 + 10~8 и хо = 10~8. В каждом случае орбиты
радикально расходятся уже через 25 итераций.
134
Глава 2
400
Рис. 2.3.7. Первые 400 итераций орбиты /. (3 = 1,99, хо = 10 11.
На рисунке 2.3.7 показаны первые 400 итераций орбиты отображения / со
значениями /3 = 1,99, хо = 10~п. Такая орбита соответствует решению
уравнений Лоренца с начальными условиями вблизи седловой точки р =
(0,0,0), и ее следует сравнить с орбитой Лоренца, численно построенной на
рисунке 2.3.1. Напомним, что каждая точка на рисунке 2.3.7 соответствует
одному циклу колебаний для дифференциального уравнения. Здесь дискретные
точки соединяются прямыми линиями; несколько первых точек на рисунке
2.3.7 показаны.
Мы закончим численное моделирование демонстрацией структуры множества
прообразов нуля. Для простоты заменим / кусочно-линейным отображением
I +1 - (Зх; х е [-1,0), \ -1 + (Зх; х ? (0, 1].
(2.3.7)
Два первых прообраза нуля описываются формулой
±1 + /Зх = 0,
откуда
(2.3.8)
Для вторых прообразов имеем уравнение
±1 + [Зх =
Р
откуда
(2.3.9)
2.3. Уравнения Лоренца
135
а)
Ь)
с)
d)
и
25
25
f
25
25
/)
25
и
25
100
Рис. 2.3.8. Орбиты / уравнения (2.3.7), /3=2, начинающиеся в одном из
прообразов 0. (а)-(е) к = 12, орбита заканчивается в х\2 = 0; (f) к = 15
(хо = 1/215). Корректное завершение при xis = 0 не происходит ввиду
ошибок вьиислений.
Вообще, прообразами порядка к являются 2к точек, описываемых формулой
На рисунке 2.3.8 показаны некоторые орбиты, начинающиеся в этих
прообразах. Эти орбиты должны обрываться в нуле после к итераций, однако
ограниченная точность компьютера (Hewlett-Packard HP 85) позволяет
получить такой результат лишь до к = 12 или 13.
В данном кусочно-линейном примере непосредственно видно, что прообразы
(2.3.10) плотны на интервале [-1,1]. Такая плотность устойчивого
многообразия нуля приводит к интересному выводу, подсказкой для которого
является чувствительная зависимость от параметра /3, проиллюстрированная
рисунками 2.3.6(a),(d). Не только орбиты данного отображения Лоренца
ведут себя хаотически, но и однопараметрическое семейство таких
отображений также проявляет необычную степень неустойчивости. На самом
деле, ни одно из отображений, общий вид которых показан на рисунке 2.3.4,
не может соответствовать некоторому структурно устойчивому
дифференциальному уравнению.
Для иллюстрации данного утверждения обсудим роль точек ±а: образов /(±0)
на рисунке 2.3.4. В исходном уравнении они отвечают точкам
к
(2.3.10)
136
Глава 2
(вблизи S), в которых орбиты, проходящие сколь угодно близко к седловой
точке р = (0, 0, 0), пересекают затем сечение Е; эти точки являются
первыми пересечениями неустойчивого многообразия точки р с этим сечением.
Назовем эти точки Ъ+ и Ь- (рис. 2.3.2), а затем рассмотрим прообразы нуля
под действием /, которые, как было отмечено, плотны в I. Так
Рис. 2.3.9. (а) Система Лоренца с седловым соединением; (Ь) возмущенное
соединение.
2.4. Динамика подскакивающего мяча
137
как эти прообразы изображают точки, лежащие на орбитах данного потока,
асимптотических к седловой точке р, то для двумерного отображения
Пуанкаре они могут соответствовать плотному множеству кривых,
