Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
e~N, Greenspan, Holmes [1982]), что превалирующими становятся физические
и численные шумы. Ввиду
Рис. 2.2.8. Инвариантные многообразия и притягивающие множества для
уравнения Дуффинга (2.2.8), cj = 1,0. (а) 5 = 0,25, у = 0,40; (Ь) <5 =
0,20, у = 0,30.
2.3. Уравнения Лоренца
125
этого асимптотическое поведение траекторий из А1 выглядит очень сложным.
На некоторых режимах, по-видимому, имеются траектории, плотные на Aj.
Главный теоретический вопрос состоит в том, является ли "странный
аттрактор" для уравнения Дуффинга артефактом, обусловленным шумами, и
присутствует ли он в идеальной детерминистской системе1. В главах 5 и 6
мы обсудим в общем контексте вопрос о существовании странных аттракторов.
В разделе 2.4 мы обсудим нелинейное отображение, которое проявляет многие
черты, присущие отображению Пуанкаре для уравнения Дуффинга, и для
которого проще изобразить структуру инвариантного множества.
2.3. Уравнения Лоренца
В [1963] Lorenz, метеоролог, обрабатывающий полученные ранее Salzmann
[1962] результаты, представил анализ системы из трех связанных
квадратичных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих три
моды (одна по скорости и две по температуре) уравнений Обербека-
Буссинеска для конвекции жидкости в двумерном слое, подогреваемом снизу.
Более подробно постановка задачи изложена в цитированных выше статьях.
Упомянутые уравнения имеют вид
Они содержат три параметра: <т (число Прандтля), р (число Рэлея) и [3
(отношение сторон). Данное тримодальное усечение точно отражает основные
конвективные свойства жидкости для чисел Рэлея р, близких к единице. В
частности, если р = 1, то решение уравнений в частных производных,
описывающее чистую проводимость жидкости, имеющей нулевую скорость и
линейный градиент температуры, теряет устойчивость и переходит в решение,
содержащее стационарные проводящие ролики или ячейки. Уравнения Лоренца
представляют собой минимальное усечение уравнений жидкости со свободными
от напряжений граничными условиями, охватывающее существенные черты этой
бифуркации. В главе 3 данный пример представлен более подробно в качестве
иллюстрации вычислений, использующих теорему о центральном многообразии.
Анализ Лоренца [1963] касался поведения данного уравнения вдали от
области параметров р и 1, а в работах Curry [1978] и Francheschini [1982]
1 Следуя Афраймовичу и Шильникову, множество А7 называют
"квазиаттрактором". - Прим. ред.
(2.3.1)
126
Глава 2
показано, что для больших р семи- и четырнадцатимодальные усечения
проявляют существенно различное поведение. (См. также Markus [1981], где
содержится более общая информация о модальных усечениях в проблемах
жидкости.) Таким образом, при возрастании числа Рэлея усиливается роль
высших мод, и предсказания, сделанные на основе тримодального усечения,
становятся сомнительными с физической точки зрения, в противоположность к
задаче о балке, в которой унимодальное усечение улавливает существенные
черты физического поведения в широком диапазоне изменения параметров. Тем
не менее, в последнее время уравнения Лоренца вызвали большой интерес у
математиков и физиков. В данном разделе мы опишем некоторые существенные
черты потока для системы Лоренца. Дальнейшую информацию можно найти в
статьях Guckenheimer [1976], Guckenheimer, Williams [1979], Williams
[1977], Rand [1978] и в книге Sparrow [1982].
Как и в системе Дуффинга, мы зафиксируем два параметра, а и /3, и будем
изменять р. (Значения, использованные Лоренцом и большинством других
исследователей, равны а = 10, /3 = 8/3, но аналогичное поведение имеет
место и при других числах.) Лоренц показал [1963], что можно найти такую
замкнутую односвязную область D С R3, содержащую начало координат, что
векторное поле на ее границе направлено вовнутрь. Таким образом, D
содержит притягивающее множество А = |Д 4>t(p). Кроме
t>o
того, любой такой аттрактор имеет нулевой объем, так как, аналогично
уравнению Дуффинга, след матрицы Якоби (дивергенция векторного поля)
J^(cr (у - х)) + ~щ^{рх -y-xz) + + ху) = ~(а + 1 + /3) (2.3.2)
отрицателен. На самом деле, при р < 1 начало координат представляет собой
гиперболический сток и является единственным аттрактором. Если р = 1, то
одно из собственных значений матрицы линеаризованной системы
-а а 0 '-а а 0 '
р - z -1 -X = Р -1 0
У х О II 19 II II н _ 0 0 -/3-
равно нулю, а два других, А = -/3 и А = - (1 + <т), отрицательны. При р >
1 имеются две нетривиальных неподвижных точки
(ж, у, z) = (±л//3{р - 1), ±\//3{р - 1), р - 1), (2.3.4)
являющихся стоками для р е (1, а(а+/3+3)/(а-[3- 1)). В точке р = 1
происходит бифуркация типа "вилка", аналогичная точке /3 = 0 для
уравнения
2.3. Уравнения Лоренца
127
Дуффинга при отсутствии возбуждения (2.2.6), и для всех р > 1 начало
является седловой точкой с одномерным неустойчивым многообразием. При
значении р = ph = <т(<т + /3+3)/(<т -/3-1) происходит бифуркация Хопфа в
нетривиальных неподвижных точках, так как собственные значения равны
