Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
которая вращается, скажем, в плоскости (х, у), как показано на рис. 2.3,
Ь, в соответствии с формулой
х = A cos х cos ст, у = A sin х cos ст, t = Ax. (2.1.73)-
Полезно доказать, что эта формула удовлетворяет уравнениям движения
(2.1.30) и уравнениям связей (2.1.38) и (2.1.39).-Убеждаясь с помощью
(2.1.62) и (2.1.63), что энергия этой конфигурации равна пАТ, а угловой
момент яА2Т/2, мы видим, что-максимум углового момента на единицу
квадрата энергии равен 1/(2я;Г), что подтверждает правильность
интерпретации а' как наклона реджевской траектории. Далее, на концах
струны вы-
88
2. Свободные бозонные струны
лолняется равенство \dx/dt\2-{-\dy/dt\2 = 1, означающее, что •они
движутся со скоростью света (напомним, что в выбранных нами единицах
с=1). Этот факт является общим следствием граничного условия X*' = 0 и
уравнений связи.
Если от пространственно-временных понятий вернуться к объектам на мировой
поверхности, то гамильтониан двумерной теории запишется так:
Я Я
Н = J do (X ¦ Рх - L) = -у J (X2 + X'2) da. (2.1.74) о о
Отсюда получаем, что
оо
Я = у ^ а_" • а" (открытые струны), (2.1.75)
- ОО
00
Я = у ^ (а_" • ап + а_" • а") (замкнутые струны). (2.1.76)
- 00
Гамильтониан генерирует (с помощью скобок Пуассона) эволюцию струны по т.
Он безразмерен, так как параметр % был выбран безразмерным.
Рассмотрим теперь разложение по модам уравнений связи Та$ = 0. Мы видели,
что в случае замкнутой струны эти уравнения эквивалентны уравнениям Х% =
Х| = 0. Используя разложения по модам (2.1.58) и (2.1.59), мы получаем
для фурье-компонент левых частей этих уравнений (вычисленных при т == 0)
Я
Lm = ^\e-2lm°T__do =
О
Я
Т Г -2itno у-/
= -\е Xr da
о
я
Lm = ^\e2t(tm)T++do =
О
= 5 e2imaxl da = -J ^ am_" • a". (2.1.78)
О -оо
В случае открытых струн эти формулы нужно модифицировать, так как еш не
являются ортогональными функциями на интервале 0 ^ а ^ я. Уравнения
связей для открытой струны можно
оо
= l?am_"-a", (2.1.77)
-'ОО
2.1. Классическая бозонная струна
89
записать в более удобной форме, если формально расширить области
определения XL и XR (введенные в (2.1.33)) за пределы интервала 0 ^ а ^
л, положив Хц (ст + я) = XL (о), Л'/.(ст + л;) = = XR(a). Из граничных
условий для открытой струны тогда следует, что Хк (или Xl) - это
периодическая функция по а с периодом 2л. Уравнения связей поэтому
представляют собой обращение в нуль величины Т++ для -п ^ ст ^ л, или,
что то же самое, ее компонент Фурье
Я
Lm = Т jj (elmaT+ + + e~im0T_ _) da =
= ^ J (X + X')2 da = ^ Z ' ""¦ (2'1 '79)
- Я -оо
Заметим в частности, что для открытых струн Н = L0, а для замкнутых H =
L0-\-L0. В случае замкнутых струн комбинация Lo•-А), которая должна
обращаться в нуль в соответствии с уравнениями связей, не содержит
импульс р*. Эта комбинация, которая генерирует повороты замкнутой струны
ст->-ст + постоянная, будет играть важную роль в дальнейшем.
Струна в данном состоянии колебания имеет квадрат массы М2 =-РцР11.
Уравнение связи Ь0 = 0 записывается в виде очень важного уравнения,
определяющего М2 через внутренние моды колебания струны. Этим уравнением
является
оо
М2 = ^г?а_п-ап (2.1.80)
П= 1
для открытых струн и
оо
M2 = irZ ("-"•"" + а-"-й") (2Л-81>
/1=1
для замкнутых струн. Уравнения (2.1.80) и (2.1.81) известны
как условия массовой поверхности для открытых и замкнутых
струн соответственно. Условие массовой поверхности является
релятивистским аналогом уравнения, выражающего энергию, скажем,
нерелятивистской скрипичной струны через координаты ее осцилляторов. В
квантовой теории эти уравнения слегка модифицируются из-за эффектов,
связанных с нормальным упорядочением. Из равенства Lo = L0 для замкнутых
струн следует, что оба слагаемых в (2.1.76) и (2.1.81) дают одинаковый
вклад.
Моды Фурье тензора энергии-импульса Lm и Lm называются операторами
Вирасоро. Скобки Пуассона для операторов Вира-
"90
2. Свободные бозонные струны
соро могут быть непосредственно (хотя и несколько утомительным образом)
вычислены с помощью скобок Пуассона для отдельных осцилляторов. Из
определения оператора Ln получаем, что
[^m> ^nlc. П. ~4~ < farn - k ' (r)n - l ' (r)ilc. П." (2-1.82)
k, I
Используя известное тождество [AB,CD]=A\B, C]DАС[В, Z)]+ + [A, C]DB + С
[A, D]B и коммутационные соотношения для осцилляторов, его можно записать
в виде
;[^п" ^пЗс.П. "4" k ' dfik + n - l + kO'm-k ' (r)n - l^k + l "Ь
k, I
+ {m - k) at- akbn_k+n_i + {m - k) а"_г • afe6m_fe+z),
(2.1.83)
где, как и прежде, 8п равно 1, если я = 0, и 0 в остальных случаях.
Уравнение (2.1.83) сводится к
[^т> ^п\с. П. ~2 k ' + n Н FT ^ (r)т-k + n '
ft fe
(2.1.84)
Заменой переменных k-^-k' = k-\- п в первой сумме уравнение
(2.1.84) записывается в виде уравнения для алгебры Вирасоро:
[Lm, Ln]c п =i(m п) Lm+n. (2.1.85)
Это очень важная формула. Ее модификацию за счет квантовых аномалий мы
рассмотрим позже. Операторы L несомненно подчиняются той же алгебре.
Алгебра Вирасоро (2.1.85) имеет очень простую интерпретацию. Пусть 0 -
