Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
К' ая] = тбт+ятГ\ (2.2.8)
К> <1=0, (2.2.9)
К> йп] = m6m+Xv- (2.2.10)
Поэтому естественно операторы ат с положительными и отрицательными т
интерпретировать как соответственно повышающие и понижающие операторы
гармонического осциллятора. Основное состояние осциллятора |0>
определяется как состояние, которое аннулируется оператором ат
при т > 0.
В действительности тот факт, что осцилляторы находятся в их
основных состояниях, не полностью определяет состояние струны. Другая
степень свободы описывается импульсом центра масс р11. Если мы желаем
специально указать на состояние, которое аннулируется оператором ат при т
> 0, в котором импульс центра масс равен р^, то будем обозначать его 10;
р^-).
Операторы ат связаны с операторами гармонического осциллятора с
общепринятой нормировкой следующим образом.
"m = V^"m, т> 0, (2.2.11)
с?т = Vmam+, т> 0. (2.2.12)
Элементарный факт фундаментальной важности - то, что пространство Фока,
построенное применением повышающих операторов а)? к основному состоянию
|0>, не является положительно определенным. Коммутаторы для временных
компонент имеют непривычный знак минус, = -1, и поэтому состояние
вида а0? | 0)> имеет отрицательную норму, так как (0 | сРтсР? | 0) = = -
1. Физическое пространство допустимых состояний струны является
подпространством полного пространства Фока; это подпространство
выделяется определенными дополнительными условиями. Чтобы иметь разумную
причинную теорию, необходимо обеспечить отсутствие в физическом
подпространстве состояний с отрицательной нормой, которые обычно
называются духами :).
Как было показано, дополнительные условия классической теории
соответствуют обращению в нуль компонент тензора
') Эти духи не нужно путать с духами BRST, с которыми мы познакомимся
позже.
94
2. Свободные бозонные струны
энергии-импульса Т++ и Т-, фурье-моды которых являются операторами
алгебры Вирасоро,
оо
= Т Z а(tm)-" ' ""• (2.2.13)
- оо
с аналогичным выражением для Lm в случае замкнутых струн. В квантовой
теории величины ат являются операторами, так что нужно решить проблему
неоднозначностей, связанных с упорядочением. Так как операторы ат-п
коммутируют с операторами ссп, кроме случая, когда т = О, такого типа
неоднозначность возникает только в выражении для L0. В связи с тем что в
настоящий момент у нас нет естественного способа решить проблему этой
неоднозначности, просто определим оператор L& в виде нормально
упорядоченного выражения
оо
^0 = т "О2(2-2Л4>
п= 1
Так как в этой формуле могла бы присутствовать произвольная константа, мы
должны добавить ко всем формулам, содержащим L0, константу, которую нужно
еще определить. В классической теории важным примером наложения
ограничений является требование обращения величины L0 в нуль для всех
допустимых движений струны. Как раз это условие приводило к формуле для
массы. Самым наивным квантовомеханическим аналогом этого требования было
бы утверждение о том, что L0 должно аннулировать все физические
состояния. Из-за неоднозначности, связанной с нормальным
упорядочением, включим
в это условие неопределенную константу и скажем, что физическое состояние
|ф> должно удовлетворять уравнению
(L0 - а) |Ф) = 0, (2.2.15)
где постоянная а будет определена позже. Как уже было выяснено в
классической теории, это уравнение определяет массу состояния струны в
терминах ее внутренних колебаний. Действительно, записанное более явно в
случае открытых струн (с а' =1/2) уравнение (2.2.15) означает, что
оо
М2 = -2а+2 ? (2.2.16)
П = 1
и что квадрат массы основного состояния осциллятора равен -2а, а квадрат
масс возбужденных состояний больше этой величины на любое число,
делящееся на 2. Для замкнутой струны
2.2. Квантование - старый ковариантный подход
95
из условий (L0 - а) |ср> =(?0 - а)|ф>=0 следует
00 00 М2 = -8а + 8? а_п • а" = - 8а + 8 X 5_" • 5". (2.2.17)
П- 1 П =1
Другое объяснение тому факту, что квадрат массы основного ¦состояния для
замкнутой струны в четыре раза больше квадрата массы открытой струны,
было дано в гл. 1. Вычитая одно выражение из другого в формуле (2.2.17),
или, что то же самое, налагая условие (L0 - ?о)|ф>=0, получим, что
оо оо
X а_" • а"= X а_" • а". (2.2.18)
п=1 п = 1
Из всех уравнений связи только это уравнение связывает моды струны,
движущиеся влево, с модами струны, движущимися вправо. Физические
состояния находятся независимым выбором осцилляторных состояний струны,
движущихся влево и вправо и удовлетворяющих только одному этому
ограничению.
Другие операторы Lm и Lm соответствуют членам с определенной ненулевой
частотой в Г++ и Т- Как и при рассмотрении электродинамики в рамках
формализма Гупта - Блейлера, обращение в нуль этих членов в классической
теории заменяется в квантовой на более слабое требование, а именно то,
чтобы компоненты положительной четности уничтожали физические состояния,
т. е.
LJ ф) = 0, т=1, 2, .... (2.2.19)
Этого уравнения достаточно для доказательства того, что
