Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
Минковского ?)-мерного пространства-времени. Мы всегда будем пользоваться
единицами, в которых Ъ - с- 1.
Принцип действия, описывающий движение массивной точечной частицы, хорошо
известен и уже упоминался во введении. Действие просто пропорционально
инвариантной длине мировой линии, т. е.
2.1. Классическая бозонная струна
(2.1.1)
74
2. Свободные бозонные струны
где инвариантный интервал, как обычно, дается формулой
ds2 = - g[iV(x)dx>ldxv. (2.1,2>
Предположим, что классическая траектория описывается функцией х^(х),
где т - произвольный параметр, помечающий точки
вдоль мировой линии. Тогда формулу (2.1.1) можно записать
в виде
5 = - m ^ dx V-х2 > (2.1.3)
где
•2 / \ dx* dxy /п . ..
(2.1.4)
Действие (2.1.3) обладает очень важным свойством. Оно инвариантно
относительно репараметризации т->т(т) траектории частицы. Формула (2.1.3)
поэтому действительно характеризует мировую линию частицы, а не частный
выбор координат. Однако квадратным корнем в этой формуле очень неудобно
работать. К тому же она неприменима к безмассовым частицам. Чтобы обойти
эти трудности, введем вспомогательную координату е(х), которую можно
проинтерпретировать как репер для одномерной геометрии мировой линии. С
помощью реперной
переменной е(х) формула (2.1.1) может быть переписана в
классической теории в эквивалентном виде
S = -^-^(?~1x2 - em2)dx. (2.1.5)
Если решить уравнение движения относительно е
i2 + e2m2 = 0 (2.1.6)
и подставить решение в (2.1.5), то действие (2.1.3) будет восстановлено.
В данном виде симметрия, связанная с репараметризацией х, может быть
описана на инфинитезимальном уровне как инвариантность (2.1.5)
относительно преобразований
6jt = ?i, (2.1.7)
Ь{е)=^{1е), (2.1.8)
где |(т)-инфинитезимальный параметр с произвольной зависимостью от х. Эта
формулировка применима и в случае без-массовой частицы.
Репараметризационной инвариантностью можно воспользоваться, чтобы выбрать
калибровку в следующем виде: е- 1/т. При таком выборе сопряженный импульс
имеет простой вид:
Рц - mg^x*, (2.1.9)
2.1. Классическая бозонная струна
75
и уравнение движения получается как обычно. Однако уравнение (2.1.6)
остается в качестве связи. Его можно интерпретировать как условие
массовой поверхности, обобщенное на случай распространения в искривленном
фоновом пространстве.
Тогда квантовомеханическое распространение точечных частиц можно было бы
описать функциональными интегралами вида
^DxDeeiS<*'e\ (2.1.10)
где по-прежнему нужно учитывать калибровочную симметрию действия (2.1.5).
Взаимодействия частиц могли бы быть установлены правилами расщепления и
слияния мировых линий, сходными с теми, которые обычно формулируются для
построения фейнмановских диаграмм. Имеется много тем, которые здесь можно
было бы развивать далее, но, наверное, изложенного будет достаточно для
того, чтобы приступить к изучению струн.
2.1.1. Струнное действие и его симметрии
Действие точечной частицы можно обобщить на объекты более высокой
размерности. В этой книге на самом деле нас интересуют струны, но, прежде
чем заняться ими, отвлечемся на короткое время и рассмотрим вместо
точечных частиц произвольные протяженные объекты. Если эти объекты
являются "-мерными (случаи п = 0,1,2 проиллюстрированы на рис. 2.1), то
а)
Рис. 2.1. Теорию точечной частицы (а) можно обобщить на случай струны (b)
или мембарны (с).
очевидным обобщением (2.1.1) является формула для инвариантного объема
той части п + 1 мерного пространства-времени, которую они заметают. Чтобы
действие было безразмерным, коэффициент должен иметь размерность
(масса)п+1. Можно использовать и другую формулировку без квадратного
корня, в которой действие аналогично действию (2.1.5). Именно эта
формулировка здесь нами и обсуждается. Так как мы описываем только
бозонные степени свободы, внутренняя геометрия (п + 1)-мерного
многообразия может быть описана метрикой
76
2. Свободные бозонные струны
haр(<т). В частности, обобщением первого слагаемого в (2.1.5) является
S = -^\dn+la^hti* (о) gllv (X) дХ суГ, (2.1.11>
где ст° = т, а пространственные координаты а1 (г = 1, 2, ..., п)
описывают n-мерный объект. Матрица является обратной к матрице haр, a h -
абсолютная величина детерминанта Лар-Метрика ha$ имеет сигнатуру
Минковского, так что одно из ее собственных значений отрицательно
(времениподобно), а остальные п положительны (пространственноподобны).
Функции .Х^(а) отображают "мировое многообразие" (линию, поверхность,
трубку...) в физическое пространство-время. Метрика ft'xp(tf) описывает
геометрию (п + 1)-мерного многообразия, а метрика giiv(x)-геометрию D-
мерного пространства-времени. Конечно же, необходимо, чтобы Z) ^ n + 1.
Формула (2.1.11) по своему характеру геометрическая; действие не зависит
ни от какого конкретного выбора координат <т". Это очевидно из обычного
исчисления общей теории относительности: Уп dn+1o - инвариантный элемент
объема, а выражение ha^daXi1dfiXv также инвариантно, так как тензорные
