Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
прошлом" некоторый оператор, несущий квантовые числа желаемого состояния.
В частности, чтобы получить тахион J 0; ky, в далеком прошлом вставляется
(как на рис. 7.5, Ь) простейший оператор, способный нести импульс №, это
и есть вершинный оператор тахиона: V0(k)=:eikx: . В общем случае,
представленном на рис. 7.5, с, любое физическое состояние |Л;&>
7.1. Открытые бозонные струны
401
может быть получено вставкой в далеком прошлом соответствующего оператора
- вершинного оператора ]/д (&). Итак,
I Л; k)= lim е-*УА(к, т)|0; 0>. (7.1.10)
T-^ + ioo
Мы написали здесь х->- + ?оо, чтобы еще раз подчеркнуть, что
функциональный интеграл в (7.1.10) берется по евклидовой мировой
поверхности мнимого т. Таким же образом, представляя конечное состояние
как функциональный интеграл по полу-бесконечной полосе, простирающейся до
т = -i оо, мы получаем формулу типа (7.1.10):
(Л; k | = lim e'T(0; 01 Va (k, т). (7.1.11)
1-> - i оо
В дальнейшем эти две формулы будут нам весьма полезны. Дополнительные
факторы z~] = e~~ir и z = eix в (7.1.10) и (7.1.11) необходимы для
компенсации тех факторов, которые возникают из
Z01 0; 0> = eik'xzk'p+l 10; 0> = z|0; k) (7.1.12)
и
(0; 0 |Z0 = (0; 0|2ft'P-1e;ft* = i-(0; k\. (7.1.13)
Мы приглашаем читателя проверить (7.1.10) и (7.1.11) для тахионов, т. е.,
взяв явную формулу (7.1.7), получить (7.1.10) при <г-"-0 или (7.1.11) при
z -*¦ оо. В формулах (7.1.10) и (7.1.11) мы явно выписывали множитель i
только для того, чтобы особо обратить на него внимание читателя; далее мы
будем работать с переменной %' = -ix.
Кроме начального и конечного состояний и вершинных операторов в формулу
(7.1.9) входят еще и пропагаторы
оо
A = (L0- 1)_1 = 5 йте-ч*-*-". (7.1.14)
о
Поскольку Lo-1-это "гамильтониан" струны, то оператор е-т(Ло-к описывает
распространение открытой струны в течение мнимого времени т, что
порождает полосу шириной л и длиной т, изображенную на рис. 7.6, а.
Собирая всю эту информацию воедино, мы видим (рис. 7.6,Ь), что формуле
(7.1.9) реально соответствует интеграл по бесконечной полосе шириной л,
имеющей следующую дополнительную структуру. В полосу вставлено М
вершинных операторов, причем по одному оператору вставлено в бесконечно
удаленном прошлом и будущем,
402
7. Древесные амплитуды
и эти операторы соответствуют начальному и конечному состояниям, а М - 2
операторов вставлено в конечные моменты времени 0, тх, т2, хм-\ и по
переменным т*. ведется интегрирование. С помощью простого конформного
отображения эту
а) т
Ь)
к3
г4
Ки-.
-X------
Рис. 7.6. Пропагатор (?0- 1) 1 = ^ dx е X^L° ^ описывает распространение
струны на расстояние т в мнимом времени и тем самым порождает полосу
шириной л и длиной т, рис. а). Дерево же <1|К2(1о - 1 )~'Уз .. ¦ Vm-iM}
представляется тогда в виде интеграла по бесконечной полосе, где полубес-
конечные куски слева и справа соответствуют начальному и конечному
состояниям |Af> и <1[, рис. Ь).
конструкцию можно привести к такому виду, где уже не будут выделены
"начальное" и "конечное" состояния 11) и |М>. Действительно, замена u =
a-\-ix на v - eiu отображает полосу
У" Уи-\Уг V,
а) Ь)
Рис. 7.7. Бесконечную полосу рис. 7.6 можно конформно отобразить на
верхнюю полуплоскость, рис. а), или на единичный круг, рис. Ь).
рис. 7.6,6 на верхнюю полуплоскость, а еще одно отображение w = (v -
i)/(v + i) переводит верхнюю полуплоскость плоскости v в единичный круг в
плоскости w. Причем вследствие конформной инвариантности оба этих
отображения являются симметриями теории. (У конформной инвариантности
могут быть,
7.1. Открытые бозонные струны
403
конечно же, аномалии, так что необходимо проверять эту симметрию явным
вычислением, как и сделано ниже.) Оба этих отображения схематически
представлены на рис. 7.7. При отображении на верхнюю полуплоскость
вершинные операторы оказываются на вещественной оси, как показано на рис.
7.7, а, з. при отображении на единичный круг они оказываются на его
границе (рис. 7.7, Ъ). Заметим, что именно о таких картинках, как рис.
7.7, мы и говорили в гл. 1. Ценность этого наблюдения заключается в том,
что теперь мы можем утверждать, что явно циклически симметричное
выражение рис. 7.7, b эквивалентно формуле (7.1.9), о которой мы знаем,
что по крайней мере в одном канале она имеет правильные полюсы.
7.1.2. Отщепление духовых состояний
Покажем теперь, что полюсами в формуле (7.1.9), которую для удобства мы
здесь выпишем еще раз,
Ам - ^Л1_2(ф] I ^2 (&г) ДУ3 (&з) ••• &V м_х (^Af-i)l Фм)> (7.1.15)
могут быть только физические состояния с положительной нормой, а не духи
или еще какие-нибудь нефизические состояния. Поскольку Ам призвана
описывать амплитуды только физических состояний, то как внешние состояния
<q>i|, |фм>, так и М - 2 вершинных оператора V{ должны удовлетворять
условию массовой поверхности (L0- 1) | <р> = 0 и дополнительным условиям
Вирасоро L"|cp> = 0 при п > 0. Наша цель - доказать, что теми же
свойствами обладают физические состояния, возникающие как полюсы в
