Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
случайность; одна из задач, стоящих перед нами в этом приложении, помимо
собственно описания некоторых полезных свойств группы Е$, заключается в
том, чтобы подчеркнуть аналогию между Ее и су-персимметричными системами.
Для доказательства (6.А.4) заметим, что произведение любых двух спиноров
можно разложить по полной системе мат-
386
6. Неабелева калибровочная симметрия
риц Дирака, а следовательно, (6.А.4) будет иметь место, если мы докажем,
что оно выполняется после свертки с (yk k k ^
для любого п и всевозможных k\, k2, ..., kn. Поскольку аир имеют
одинаковую киральность, то можно ограничиться только четными п, а так как
(6.А.З) по а и р антисимметрично, то реально нужны лишь те значения п,
при которых (yk k k ^
тоже антисимметрично по этим индексам, и, используя простейшие свойства у
матриц, мы получаем п - 2, 6, 10 или 14. Если,
кроме того, во-первых, учесть тождество у. .= е • X
it ... iI6
X У,- i ¦ v/(16 - k)\, а во-вторых, тот факт, что можно пре-lk+i * '* 16
небречь оператором у> если он действует на положительно-ки-ральные
спинорные индексы, то видно, что достаточно проверить лишь случаи п = 2 и
п = 6. (Почему существенны только п = 2 и п = 6, можно понять и из
совершенно других соображений: заметим, что в антисимметричной комбинации
Qa и Qp имеется
128 127 16-15 . 16-15.14-13-12.il /с л
---2----= -2- + --------------61-------- (6-А'5)
независимых членов. Два числа, стоящие в правой части
(6.А.5), - это как раз число независимых компонент Y,-^...^
для k = 2 и k = 6 соответственно.)
Свертывая (6.А.З) с yi h или, что эквивалентно, с ahh, получаем
(tr+CTfejff?/) • (<Уц)уб - 2 (OijOktOij)y6, (6.А.6)
где tr+ обозначает след в пространстве спиноров с положительной
киральностью. То, что это выражение обращается в нуль (для SO (16)),
следует из обычной дираковской алгебры. (Слагаемые в (6.А.6) равны
соответственно =F256(ffw)Y6.) Следующая свертка с у{ is дает
-2(V^...<-eCTAe' (6Л-7)
что опять-таки обращается в нуль для SO (16) с помощью простейших
алгебраических манипуляций с гамма-матрицами. Итак, мы завершили наше
элементарное построение алгебры Ли, известной как алгебра группы E$.
В точности так же, как суперсимметричные теории Янга - Миллса с
минимальным набором полей существуют в нескольких измерениях: 3, 4, 6 и
10, из которых 10 является просто максимальным, есть не одна, а несколько
возможностей построить алгебру Ли, добавляя вещественные спиноры к
присоединенному представлению SO(N). Помимо варианта N = 16,
Приложение 6.А
387
который приводит нас к Е8, можно взять N = 9 и N = 8. Добавив к
тридцатишестимерному присоединенному представлению 50(9) 16-компонентные
спиноры и буквально повторяя описанную выше схему, мы получим алгебру Ли,
известную как исключительная алгебра F4. Добавив к 28-мерному
присоединенному представлению 50(8) восьмикомпонентные спиноры
положительной или отрицательной киральности, мы построим алгебру Ли
группы 50(9) в некотором новом базисе, который отличается от
общепринятого (и более простого) преобразованием триальности группы
50(8).
Теперь мы намереваемся описать некоторые подгруппы группы Es. В
существовании по крайней мере одной подгруппы, 50(16), мы уже убедились,
а она, в свою очередь, содержит в качестве подгруппы 50 (10) X 50(6).
Легко видеть, что присоединенное представление 50(16) разлагается
относительно 50(Ю)Х 50(6) как
(45, 1)0(1, 15) (c)(10, 6). (6.А.8)
Два первых фактора - это присоединенные представления групп 50(10) и
50(16), а последний представляет собой произведение векторных
представлений этих групп. Вопрос: как преобразуются относительно
SO(10)X50(6) спиноры группы 50(16)? Как мы установили в приложении 5.А,
чтобы построить спинор SO (16), надо ввести 16 гамма-матриц 71 ... Yi6> и
тогда первые десять матриц можно рассматривать как гамма-матрицы для SO
(10), а шесть оставшихся - как гамма-матрицы для 50(6). Таким образом,
спинор 50(16) преобразуется как произведение спинора 50(10) и спинора
50(6). Что можно сказать об их киральности? Оператор киральности в 50(16)
- это Y = Yi ••• Y16. в 50(10) - это у(10) = Yi ••• Y10. а в 50(6) - это
= yh ... Yi6- Очевидно, что
Y = y(,0) • Y(6)- (6.А.9)
Таким образом, положительно-киральный спинор Qa группы SO(16) разбивается
на части либо с y(10) = Y(6) =либо с Y<10) = y(6) = -1. Кроме того, из
приложения 5.А нам известны размерности киральных спиноров для 50(10) и
50(6)-это соответственно 16 и 4. Если теперь обозначить 16 и 16
положительно и отрицательно киральные спиноры 50(10) и аналогично 4 и 4
для 50(6), то можно записать 50(Ю)Х50(6) разложение 129-мультиплета
группы 50(16) в виде
128 = (16, 4)0(16, 4).
(6. А. 10)
388
6. Неабелева калибровочная симметрия
Формулы (6.А.8) и (6.А. 10) и дают полное описание SO (10) X X 50 (6) -
разложения присоединенного представления группы Еъ.
Теперь мы собираемся описать другую исключительную группу, группу Е6,
причем мы будем рассматривать ее как подгруппу в Eg. Прежде всего
