Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
теории возмущений там имеется по единственной диаграмме.
На эвристическом уровне мы уже обсуждали как циклическую симметрию, так и
дуальность, теперь же мы конкретизируем нашу дискуссию с целью показать,
что возникающая мера интегрирования действительно обладает всеми
необходимыми нам свойствами. Начнем с того, что попытаемся несколько
преобразовать выражение (7.1.15). Подставляя определения (7.1.1) и
(7.1.2) и пользуясь (L0-1) |(pi>=(L0-1) | фл^)= 0, мы получаем
Ам = gM~2 \ dl3 '••f"-1 <ф11V (k2, 1) V (k3, z3) ... j ... *м_{
• ¦ • ^ 2ъ • ¦ • ZM-\) | ^М) =
1 /М-\ \
= gM~2 S П 9 ^,'-1 ~ ^уГ)^1'V ^2' Уг}У ^3' У^'"
¦¦¦ V(kM_v ум_,)|Фл1>, (7.1.26)
где г/2 = 1 и сделана замена переменных
yi = z3z4...zl г = 3, .. ., М- 1. (7.1.27)
Поскольку 0 < Zi < 1, то г/г_ 1 > у и что и учтено с помощью тэта-функций
0 (г/г-1-у С). Пока что М частиц входят в выражение для амплитуды
несимметрично, и следующий шаг заключается в подстановке
|ФМ>= lim yj?V(kM,yM) |0; 0) (7.1.28)
ум-+°
<Ф! 1= lim (0; 0| yxV{ku ух), (7.1.29)
У i->oo
где 10; 0) отвечает основному состоянию с нулевым импульсом в фоковском
представлении. Из этих формул следует равенство
(•Pi | V (k2, у2) ... V (kM_v Ум-i) | Фм) =
= -Г~Ф; 0W(kb yx)V(k2, у2) ... V(kM, ум) | 0; 0> (7.1.30)
Ум
в пределе ух-^оо и ум~+ 0.
Сделаем небольшое отступление и обсудим свойства состояния 10; 0)
(основного состояния в фоковском представлении, имеющего нулевой
импульс). Это состояние в некотором смысле представляет собой вакуум, или
основное состояние двумерной квантовой теории поля, описывающей
распространение
7.1. Открытые бозонные струны
407
открытой бозонной струны. Причина, по которой мы до сих пор
воздерживались от обсуждения свойств этого состояния, заключается в той
нетрадиционной (сравнительно с другими двумерными квантовыми теориями
поля) физической интерпретации, которую мы даем теории свободной струны.
Состояние |0;0> не является "физическим состоянием", поскольку оно не
аннигилируется оператором Lo- 1 (вместо этого оно аннигилируется
оператором L0), но однозначно выделяется другим, в некотором смысле не
менее важным требованием. Во всем фоковском пространстве |0;0> - это
единственное состояние, аннигилируемое генераторами L_i, Lo и L\
свободной от аномалий группы SL(2,R). Хотя SL(2,R) представляет собой
всего лишь конечномерную подалгебру всей бесконечномерной алгебры
Вирасоро, но роль ее чрезвычайно существенна. Дело в том, что эта
подалгебра не затрагивается появлением аномалии (центрального заряда) в
алгебре Вирасоро, а значит, остается истинной симметрией теории, т. е.
аннигилирует вакуум. Если смотреть на свободную струну просто как на
некоторую двумерную теорию поля с удивительно большой группой симметрии,
тогда именно состояние j0; 0) должно играть роль вакуума, а свободная от
аномалий и не меняющая вакуум группа SL(2,R) - роль ненарушенной группы
симметрии. Однако в любом случае именно на SL{2,R) основаны
доказательства всех простейших свойств древесных бозонных амплитуд, тех
свойств, которые далеко не очевидны из более элементарных соображений.
Бесконечно малый сдвиг, генерируемый любым Lm, - это ут+1, что можно
видеть прямо из формулы (7.1.3), которую мы здесь для удобства выпишем
еще раз:
В правой части (7.1.31) присутствуют два слагаемых: первое слагаемое
ym+ld/dy, общее для всех полей вне зависимости от их конформной
размерности, и второе слагаемое тут, напротив, своим присутствием
обязанное именно конформной размерности J = 1 вершинного оператора.
Произвольное преобразование группы SL(2,R) можно записать в виде
где Кт•-некие малые параметры. Конечные преобразования получаются, как
обычно, экспоненцированием Lm:
[Lm, VA(k, y)\ = (ym+1-^+tnym)vA{k, у). (7.1.31)
У^У'- У + А_] + К0у + А,!#2,
(7.1.32)
(7.1.33)
408
7. Древесные амплитуды
где кт теперь суть конечные параметры. Собирая эти три формулы вместе,
получаем общий вид преобразования SL(2,R):
Заметим, что, хотя в формуле (7.1.34) фигурируют четыре параметра,
реально их число на единицу меньше: от одного из них можно избавиться за
счет общей перерастяжки. Общепринятый способ нормировки - это положить
ad-be = 1; тогда
матрица будет принадлежать группе SL(2,R), состоя-
щей из всех вещественных (2X2)-матриц с детерминантом, равным единице.
Сделаем небольшое отступление, чтобы объяснить, "почему" вещественные
матрицы размера 2X2 могут естественным, но нелинейным образом действовать
на одну вещественную же переменную у. Очевидно, что (2 X 2)-матрицы из
SL(2,R) действуют на двумерном вещественном векторном пространстве:
Положив у = v\/vz, мы получаем для у закон преобразования
Подгруппа SL(2,R) конформной группы носит название "группы Мёбиуса" или
"проективной группы". Читатель может самостоятельно убедиться в том, что
трехпараметрическое семейство преобразований (7.1.34) действительно
генерируется операторами из (7.1.33). Из вещественности а, Ь, с и d
очевидным образом следует, что преобразование (7.1.34) переводит
