Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
совпадают, а сами теории различны. Например, состояния на четных массовых
уровнях в 50(3)- и USp{2)-теориях совпадают, но на нечетных уровнях
эрмитовы GL{3,R)-матрицы описывают представления 5 + 1, в то время как
эрмитовы GL (1, Я)-матрицы содержат только синглет. Аналогичным образом
возникает различие в парах: 50(2) и t/(l), 50(4) и USp(2)X USp{2), 50(5)
и USp(4).
В следующих разделах мы обсудим совсем другой способ введения
калибровочных взаимодействий. Мы найдем другой способ включения группы
50(32) и, что существенно, убедимся, что и группа EsX.Es допустима.
6.2. Алгебра токов на мировой поверхности струны
Мы убедились, что на концах открытой струны можно помещать заряды
(которые мы называли "кварками"). Вопрос: можно ли придумать еще какое-то
место для зарядов? В открытой струне есть только две выделенные точки -
это ее концы, в замкнутой струне выделенных точек нет вообще. А это
значит, что если мы не размещаем заряды на концах открытой струны, то
следует проявить "демократизм" и представить себе, что заряды вообще
никак не локализованы, но распределены вдоль всей струны.
Каким образом можно ввести непрерывное распределение заряда? Вернемся к
действию для бозонной струны и запишем его в конформной калибровке:
5 = " W S d2adaX^daX^. (6.2.1)
В гл. 4, исследуя возможные обобщения этого действия, мы ввели
распределенные по струне фермионные степени свободы гр. Мы положили, что
принадлежат векторному представлению группы 50 (1,9) и не несут никаких
дополнительных квантовых чисел. Однако, если мы собираемся ввести группу
внутренней симметрии, можно поступить ровно наоборот: ввести фермионы,
которые являются лоренцевыми синглетами, но несут какие-то внутренние
квантовые числа. Например, выбрав п вещественных майорановских фермионов
А - 1...............п, мы
336
6. Неабелева калибровочная симметрия
можем написать
S = - J d2a (даХ",даХ* - йАрада/А). (6.2.2)
У формулы (6.2.2) есть очевидная симметрия SO(n) по индексу А, но на
самом деле ее глобальная симметрия гораздо шире. Если переписать (6.2.2),
явно указывая правые и левые моды то мы получим
S = - J d2o (даХ^даХ" - 2iktd+Xi - 2il+d^%А+). (6.2.3)
Ясно, что действие (6.2.3) инвариантно относительно SO (л)-вращений
правых и левых мод по отдельности и обладает, следовательно, глобальной
симметрией SO (п) i X SO (a) R. При желании мы могли бы вовсе убрать из
(6.2.3) правые или левые моды и получить в результате систему, скажем, с
п левыми майора-новскими фермионами и симметрией SO(n)L.
Естественно спросить, будет ли выражение (6.2.3) осмысленным в теории
струн. Вопросы самосогласованности здесь настолько деликатны, что на
первый взгляд трудно поверить в разумность такого действия. Однако, хотя
на самом деле некоторые детали такой проверки (6.2.3) требуют очень
тонкого анализа, нетрудно увидеть, что большинство этих трудностей вполне
преодолимо, если не гнаться особенно за строгостью. Ключом к решению
нашей задачи оказывается разобранная в разд. 3.2.4 идея бозон-фермионной
эквивалентности в двумерии. Возможность бозонировать фермионы означает,
что по крайней мере в пределе бесконечного объема два майорановских
фермиона в размерности 1 1 эквивалентны одному вещественному бо-
зону. Правда, в теории струн мы, как правило, имеем дело с (1 + 1)-мерноп
квантовой теорией поля, но не в бесконечном объеме, а на конечном
интервале или на окружности. Однако, как мы имели возможность убедиться в
гл. 3, бозонизация имеет место (при выполнении соответствующих условий) и
в этом случае. Итак, мы видим, что при наличии некоторых дополнительных
условий действие (6.2.3) отвечает некоторой чисто бозонной теории. Будем
считать, что п четно, например, п = 2d. Тогда 2d майорановских фермионов
эквивалентны d вещественным бозонам ф1', i = 1, ..., d, и мы можем
переписать (6.2.3) в виде
S = - k S d2° + даФ^У). (6.2.4)
В этой формуле уже участвуют только свободные бозоны, D + d штук, в
точности как в модели Венециано в конформной калиб-
6.2. Алгебра токов
337
ровке. Таким образом, мы можем утверждать, что самосогла-сованность
теории может быть достигнута в той или иной степени, если суммарная
размерность D + d равна 26, т. е. критической размерности модели
Венециано. (Полное решение вопроса зависит, конечно же, от того, в какой
степени те требования, которые позволяют отождествить (6.2.4) с (6.2.3),
совместны с остальными требованиями теории струн.) Например, ¦если по
каким-то причинам мы выбираем D = 10, то необходимо положить п - 32; это
значит, что вполне резонно стремиться получить из (6.2.4) десятимерную
теорию струн с внутренней симметрией SO (32) X SO (32).
Может возникнуть вопрос, в чем заключается разница между JO4 и фг в
(6.2.4)? Почему, собственно говоря, (6.2.4) не обладает полной лоренцевой
симметрией SO(D-\-d-1,1), позволяющей переводить друг в друга и ф^? Как
получается, что у (6.2.4) вместо этого оказывается лоренпева симметрия
лишь вида SO(D-1,1) и внутренняя симметрия SO (2d) X SO (2d)?
