Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
предела при 0. Обобщая (5.5.1) на суперчастицу, мы сразу положим m = 0,
поскольку для дальнейшего обобщения на суперструну массовый член
несуществен.
Действие (5.1.1)' инвариантно не только относительно локальных
репараметризаций вида т->/(т), но и относительно глобальных трансляций из
пространственно-временной группы Пуанкаре, которые генерируются
преобразованиями
6л^ = ^ + (5.1.2)
де = 0, (5.1.3)
где антисимметричны.
В гл. 4 мы организовали явную суперсимметрию на мировой поверхности,
добавив к двумерным координатам ст и х фермион-ные координаты.
Пространственно-временную суперсимметрию мы получим тем же приемом:
расширяя пространство Минковского, имеющее чисто "бозонные" координаты
хдо суперпространства с дополнительными фермионными координатами; чтоб
получить N суперсимметрий, мы вводим N антикоммутирующих
спинорных координат 0Ла(т), Л = 1, 2, ... N. Индекс а -
это
индекс пространственного-временного спинора в D-мерном пространстве. Для
дираковского спинора общего вида а = 1, ...
..., 2°12. Однако, как правило, нас будут интересовать спиноры,
удовлетворяющие майорановским и вейлевским дополнительным условиям, о чем
говорилось в разд. 4.3.3.
В суперпространстве суперсимметрия реализуется стандартным образом. Если
ввести бесконечно малые грассмановы параметры ел, т. е. спиноры того же
типа, что и соответствующие
5.1. Классическая теория
285
координаты 04, то преобразования задаются следующими формулами:
60л = ел, Ъ& = ЦАТ"ЪА,
-а , п (5.1.4)
60 =е , ое = 0.
Спинор ел постоянный, т. е. не зависящий от т. Как эти, так и дальнейшие
формулы мы будем писать в виде, приспособленном для майорановских
спиноров.
Теперь мы можем обобщить понятие обычной бозонной точечной частицы,
движущейся в пространстве Минковского, до суперчастицы, движущейся в
суперпространстве. Можно написать много различных действий, поскольку и
л:ц - /0^Г^0Л, и 0Л" инвариантны относительно преобразований
суперсимметрии, и из них можно построить разнообразные лоренц-
инвариантные лагранжианы. Простейшее и наиболее непосредственное
обобщение формулы (5.1.1) использует первый инвариант, что дает
S = -j -'eVV)2*. (5.1.5)
Это выражение обладает очевидной лоренц-инвариантностью и
суперсимметрией, а следовательно, и полной супер-пуанкаре-
инвариантностью. Из него следуют уравнения движения
р2 = 0, p|i = 0, Г-р0 = 0, (5.1.6)
где мы ввели определение
р" = х" - iQAY"QA. (5.1.7)
Поскольку (Т-р)2 = -р2 = 0, то половина собственных значений матрицы Г-р
нулевые; кроме того, 0 всегда входит с множителем Г-р. Поэтому половина
компонент 0 в нашей теории отщепляется! Причиной тому далеко не очевидная
дополнительная симметрия действия (5.1.5). К описанию этой новой
локальной фермионной симметрии мы и переходим.
Пусть кАа{х) обозначает N бесконечно малых спинорных грассмановых
параметров. (Система индексов здесь такая же, как и у еАа, с тем лишь
отличием, что хАа могут зависеть от т.)
Рассмотрим преобразование
60л = гТ • ркА, (5.1.8)
б.^ = г0лтбл, (5.1.9)
6е = 4евАхА. (5.1.10)
Заметим, что в соотношении между 6л: и 60 здесь взят знак,
противоположный соответствующему знаку в е-преобразова-
284
5. Пространственно-временная суперсимметрия
ниях. Покажем, что эти преобразования действительно будут симметрией
действия (5.1.5). Доказательство инвариантности 5 начинается с формулы
др" = 2г0лГ^ 60Л, (5.1.11)
Таким образом,
бр2= 4/блГ ¦ р 68л = 4р4АхА. (5.1.12)
Следовательно, е~1р2 инвариантно, если
6е~' = - 4e-10V\ (5.1.13)
что эквивалентно формуле (5.1.10).
^-преобразования не совпадают ни с обычной суперсимметрией на мировой
линии, ни с пространственно-временной суперсимметрией. В самом деле,
действие вовсе не содержит спиноров на мировой линии. Чтобы разобраться с
этими преобразованиями, рассмотрим алгебру, которая получается при
коммутации двух ^-преобразований.
Пусть Si и 62 обозначают и-вариации с параметрами и и2 соответственно.
Тогда
[б,, б2] 0Л = гГ^Кг 6jPh - (1 -*-> 2) =
= -2г1>г б Vr • ри? - (1 2) =
= (2гТ>20вГ • рГ^щ + 4гТ • рх2Дбвх?) - (1 *-*> 2). (5.1.14)
Здесь мы столкнулись с симметрией, алгебра которой не замыкается вне
массовой поверхности, поскольку в действии отсутствуют необходимые для
этого вспомогательные координаты. Поэтому, чтобы замкнуть алгебру,
необходимо использовать уравнения движения. Уравнение Г-р0 = О уничтожает
первое слагаемое в последней строке (5.1.14), и остается
[6Х, б2]0л = /Г • ркА + (член, пропорциональный уравнениям
движения), (5.1.15)
где мы положили
хЛ = 4у^ви?-(1"-*2). (5.1.16)
Таким образом, коммутатор двух ^-преобразований - это опять и-
преобразование! Этот довольно странный результат стал возможен лишь
потому, что на массовой поверхности нет никакого сохраняющегося заряда,
ассоциированного с х-симметрией. Те сохраняющиеся величины, которые можно
было бы надеяться
5.1. Классическая теория
285
вывести из и-инвариантности, все обращаются на массовой поверхности в
нуль. Структурные "константы" на самом деле оказываются не константами, а
