Теория суперструн. Том 1 - Грин М.
Скачать (прямая ссылка):
(4.5.12)
[сс, с^] - [am, an] = 0.
Соответственно для бозонных граничных условий дираковские поля if?
разлагаются по комплексным осцилляторам с полуцелыми индексами Ьг и
алгеброй
№, й}-{6?, 53-0. *'¦
В этих переменных фурье-компоненты тензора энергии-импульса имеют вид
Ln = ^ : а-тап + т : + ^ (г + "у) : b-rbn+r '¦ , (4.5.14)
моды супертока / суть
Gr=l6s'ar_s, (4.5.15)
Gr=?6s-ar_s, (4.5.16)
274
4. Суперсимметрия мировой поверхности
а моды SO (2)-тока даются формулой
Тп='?:Ьг-Ьп_г:. (4.5.17)
Операторы Тт образуют алгебру
[Tm, Tn] = tnD6m+n, (4.5.18)
это абелева "алгебра Каца - Муди" для группы SO (2). Мы будем исследовать
алгебры Каца - Муди (или аффинные алгебры Ли, как их часто называют) в
гл. 6, где бесконечномерные алгебры такого типа будут играть важную роль.
SO (2) -ток имеет конформную размерность J = 1, так что
[Lm, Тп]~ пТт+п. (4.5.19)
SO (2) -заряды супертока равны +1, и поэтому
[Тт> Gr] = Gm+r, (4.5.20)
[Тт, О А = - Gm+r. (4.5.21)
Поскольку по сравнению со случаем N=1 число бозонных и фермионных
координат удвоилось, то соответственно удваивается и значение аномалии в
алгебре Вирасоро:
[Lm, Ln] = (m - n)Lm+n + ^D(m3 - m)6m+n. (4.5.22)
Поскольку операторов с зарядом два в теории нет, то
{Gr, Gs} = {Gr, Gs} = 0. (4.5.23)
По-видимому, наиболее интересная скобка во всей алгебре -• это
{Gn Ga) = Lr+S + \ (г - s) Tr+S + ^ D (г2 - 1) 6r+s. (4.5.24)
Как и в предыдущих струнных теориях, физические состоя-
ния должны удовлетворять условиям связи
^1ф) = 7'я1ф) = 0. я>0, (4.5.25)
Gr |ф> = 0г|ф> = 0, г > 0, (4.5.26)
(L0 -а)|ф) = 0, (4.5.27)
Г0|Ф) = 0. (4.5.28)
Из последнего уравнения следует, что все состояния с ненулевым [/(1)-
зарядом - нефизические; это можно интерпретировать как своего рода [/(1)-
конфайнмент. Найдем теперь выделенные значения а и D, рассматривая
физические состояния с нулевой нормой.
4.5. Расширенная суперсимметрия на мировой поверхности 275
Рассмотрим состояние вида | ф> = G_1/21 <р>, где
(Г0 + 1)| ф) = 0, (4.5.29)
Gr | ф) = Gr | ф), г > 0. (4.5.30)
Это состояние имеет нулевую норму и является физическим, если оно
аннигилируется оператором G\/2,
G
1/2
I ф) - (/о - у^о) I ф) - (/о + у) I ф)> (4.5.31)
что обращается в нуль при ?0|ф> = 0. Таким образом, выделенное значение а
=0, что в свою очередь означает, что основное состояние - это безмассовый
скаляр. Итак, без какой-либо
апелляции к условиям типа GSO-проекции мы получили спектр,
свободный от тахионов.
Построим теперь состояния с нулевой нормой, которые определят нам
критическую размерность. Положим
I ф) == (^-i + + A,2G_i/2G_i/2) I ф), (4.5.32)
где
Г0|ф) = (10+ 1)|ф) = 0, (4.5.33)
Gr | ф) = Gr | ф) = 0, л > 0. (4.5.34)
Используя расширенную супералгебру Вирасоро, мы непосредственно получаем
G1 /21 ф) = (- 1 + Я, + Л2) G-1/21 ф>, (4.5.35)
Gi/2I ф) = (1 + Я,) G-i/2 [ ф), (4.5.36)
Г1|ф) = (0-Я2)|ф). (4.5.37)
Отсюда следует, что для, Xi = -1 и Хг = 2 состояние |ф> имеет нулевую
норму и является физическим при D= 2. Это и есть критическая размерность
нашей теории. Легко показать, что при D > 2 обязательно появятся духовые
состояния.
Утверждение о том, что критическая размерность теории равна двум,
буквально означает, что в конусной калибровке поперечных мод не остается
совсем и безмассовое скалярное основное состояние будет единственной
распространяющейся степенью свободы во всей теории (по крайней мере в
этом секторе). Однако недавно было указано на некоторые тонкие моменты в
самой процедуре квантования этой теории, и возможно, что сделанное
утверждение нуждается в пересмотре. Если же все-таки верно, что в теории
имеется одна-единственная скалярная мода, то эта мода должна быть
элементом некоторой
276
4. Суперсимметрия мировой поверхности
локальной квантовой теории поля, однако до сих пор неизвестно, что это за
теория. Кроме того, неясно, какой фермион, если таковой'существует,
должен сопутствовать нашему "скаляру".
Подведем итог. yV == 2-расширение суперструны привело нас к двумерной
теории с очень высокой степенью симметрии и к интересному обобщению
супералгебры Вирасоро. Похоже на то, что эту теорию невозможно
интерпретировать в стандартном струнном духе, поскольку ее критическая
размерность D = 2 исключает возможность существования поперечных струнных
возбуждений. Возможно, что эта теория относится к физике каким-то
совершенно другим и пока неизвестным способом.
4.5.2. Теория с N= 4
Струнная теория с N = 4 имеет еще более богатую математическую структуру
и еще более скудный физический выход. Локальная группа SO (2) заменяется
на группу SU(2), в теории есть четыре локальные суперсимметрии и
суперконформ-ные симметрии. Физические координаты состоят из четырех
переменных типа X'1 и четырех майорановских спиноров Первые являются
SU(2) -синглетами, а вторые образуют пару SU (2) -дублетов.
Как и раньше, нетрудно выписать действие и преобразования симметрии,
однако все это мы пропускаем и сразу переходим к алгебре связей. Аномалия
