Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Половина области 0 ^ х ^ L разбивается на участки шириной 0,1L, и для
каждого из них вычисляется значение Е. Таким образом, данные табл. 10 и
11 характеризуют распределение в процентах от полной средней по времени
величины Е, накопленной в полосках шириной 0,1а и высотой 2/г. В
последнем столбце табл. 10 и 11 помещено суммарное значение величины Е.
Данные, относящиеся ко второй собственной частоте, здесь не приведены,
поскольку они, по существу, такие же, как для первой собственной частоты.
1 ^ 20" °* = /о.
(5.1)
(5.2)
о о
0,2695), (0,7975-0,8085), (1,2485-1,2595), (1,4305-1,4316),
189
Таблица 10
x/L
Q 0,0- 0,1 0,1- 0,2 0,2- 0,3 0,3- 0,4 0,4- 0,5 0.5- 0,6
0,6- 0,7 0,7- 0,8 0,8- 0,9 0,9- 1.0 В
0,264 1,254 1,430 1,516 10.3 12.3 2,0 14,5 10,3 8,1 1.7 3,3 10,2
8,1 1,4 14,9 10,2 11,6 0,9 11,2 10,1 11,7 0,4 4,8 9,9 8,6 1,6
12,7 9.8 8,2 6,0 6.8 9.8 11,3 10,8 7.8 9,7 11,7 13,2 16,6 9,7
8.4 62,0 7.4 69 22 248 1022
. Т а б л и ц а
11
X/L
Q 0,1 0.1- 0,2 0,2- 0,3 0,3- 0,4 0,4- 0,5 0,5- 0,6 0,6-
0,7 0,7- 0,8 0,8- 0,9 0,9- 1,0 Б
0,264 1,254 1,430 1,516 1,0 10,5 2,1 14,4 2.3 7,0 1,7 3.3 3.0
7.0 1.4 14,8 2,5 10,0 0,7 11,0 1,2 9,6 0,2 4,8 0,6 6,6 1,5 13,0
1,2 7,2 5,5 7,0 3,2 11,0 10,5 7,7 17,0 17,2 13,6 16,8 68,0
13,9 62,8 7,2 0,01 0,9 395 1246
Остановимся вначале на данных табл. 10. Для первой собственной формы
имеем практически равномерное распределение энергии по объему тела. Для
третьей формы наблюдается некоторая неравномерность в распределении,
однако она не регулярна и не очень ярко выражена. В определенной мере это
связано с тем, что разбиение на полосы не согласовано с особенностями
конкретной формы колебаний. Такая же закономерность наблюдается и для
пятой собственной формы. В целом можно сказать, что для третьей и пятой
собственных форм энергия в определенном смысле поровну распределена между
отдельными частями тела Иное положение наблюдается для четвертой
собственной частоты, соответствующей краевому резонансу. Здесь из всего
количества запасенной энергии более 60% ее сосредоточено в узкой полосе
шириной 0,6h у обоих торцов прямоугольника.
Как уже отмечалось, в последнем столбце табл. 10 и 11 помещено абсолютное
значение величины Е, вычисленное по формуле (5.2) для двух типов нагрузки
(5.1) Для каждой частоты и типа нагрузки имеем свое значение Е, отличное
от других. Это отличие связано с двумя обстоятельствами Прежде всего
степень возбуждения тела при вынужденных колебаниях зависит от близости
частоты возбуждения к собственной. И хотя вычисления проведены для
средних значений частот в установленных интервалах, определить степень их
близости к собственным не представляется возможным. Кроме того, величина
накопленной энергии существенно зависит от степени соответствия характера
нагрузки и возбуждаемой формы колебаний.
190
Если первый из указанных факторов це сильно сказывается на характере
распределения энергии по объему пластинки, то влияние второго фактора
более существенно. При наличии значительного несоответствия между видом
нагрузки и кинематическими характеристиками возбуждаемой моды вообще
невозможно сколько-нибудь заметно возбудить колебания объекта. Об этом
убедительно свидетельствует первая строка в табл. 11, где приведены
данные о распределении энергии для первой собственной частоты при
возбуждении
колебаний самоуравновешенной по торцу нагрузкой ох =
=^0 cositz. Имеем ничтожно малую величину общей накопленной энергии,
которая к тому же распределена подобно статическому случаю
деформирования. Для возбуждаемых с достаточной степенью динамичности
краевой моды (Q = 1,430) и пятой моды (Q = 1,516) данные о распределении
энергии в табл. 10 и 11 практически совпадают.
Следующий из табл. 10 и 11 основной вывод о том, что краевая мода
характеризуется сильной локализацией энергии вблизи торцов
прямоугольника, подтверждается также расчетами для других
типов нагрузки, в частности для нагрузки а* = /0 cos 2лг.
Особенность деформирования прямоугольника при несоответствии нагрузки и
формы колебаний, отраженная в табл. 11, указывает на один из недостатков
предлагаемого подхода к изучению собственных частот и форм колебаний.
Представленный пример свидетельствует о необходимости иметь определенное
соответствие между заданной нагрузкой и искомой формой колебаний. С
ситуацией невозбуждаемости мы встретились при попытке возбудить моды Ламе
равномерной нормальной нагрузкой по сторонам прямоугольника. К счастью,
требование соответствия между нагрузкой и формой не слишком жесткое, и в
подавляющем большинстве расчетных случаев все исследуемые формы удается
хорошо возбудить одним-двумя типами внешней нагрузки.
Затронутая проблема приобретает практическую важность при проведении
экспериментальных исследований на поляризованных по толщине
пьезокерамических пластинках. Несоответствие характера возбуждающего
электрического поля некоторой форме колебаний приводит к очень малому
