Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Чг
ch д2г
sh 1?2
" а?пе~
Q2 -Q? Q2_Q?
2&
2?п
(1 - 2)
q| - q|
к
2 (1 -2)1].
(3.10)
При получении всех асимптотических (щенок (3<6), (3.9), (3.10)
использовались соотношения
Pl-Цт-
Q,
at
тё- <3-п)
справедливые для больших тип. Учитывая, что
lim (1 - z)2 у ё~1"{Х-г) = 0,
г-+1 ьп
(3.12)
ГС=1
для оценки значения второго ряда в (3.4) вблизи точки г = 1 получаем
равенство
S8(z) =
tel
(S"2 + ?|)
(а+т^г)
2&i
ch q-L г ______________________________________ ch д2г
sh r?j sh ?2
+ a0-
+
Л(1-2) -.
In
1 - e
nil-г) h
1 - e
п(1-г) L
. (3.13)
174
Здесь использованы формулы ГЗЗ] Li Ъп я
ГС=1
I -е
7Ш
' L
S ^
72=1
ЯД
" L
(3.14)
1 -е
па
' L
Видно, что ряд S2 (г) также представляет функцию с логарифмической
особенностью в точке z = 1. В совокупности формулы (3.4), (3.7) и (3.13)
позволяют провести эффективное вычисление напряжений ах в точках границы
х = L при г < 1. Аналогичные выкладки можно проделать и для вычисления
напряжения ог на этой же границе.
То обстоятельство, что предельные значения неизвестных хп и гт совпадают
по абсолютной величине, свидетельствует о том, что логарифмические
особенности в отдельных слагаемых (3.4) при г -*¦ 1 погашаются.
Действительно,
2cos-
lim In
г-И
Я(1-г)
Ini,
1 - е
зт( 1"*Z)
¦ ~~ТГ
(3.15)
lim (1 - г)
г-И
1 - в
nil-г) L
_L_
п
При этом для вычисления напряжений в угловой точке получаем следующие
соотношения:
1 -V
-2q-°x(L, 1) = я0 -t_2v"cosQiL + zo ~Т 00 + 2
-71=1
Q2 _ q2
nAm(p) + anL-%-^-
2т] m
- COS^-f +
+
п=1
-а0-
+ <4) ( +
vQ;
1 - 2v
cth qt - q2 cth q%
?2| - Qf
~%r~
+ Oo
02 - Q?
2xt
I In L - aa
Ч-щ
2xt
~ ог (L, 1) = x0 l22v cos ^ j cos + (3.16)
175
+ L2jr>n
m=\
+ <h
(4m + p\)
+ ! _2v J
d*2 - Qf
2r|m
24^1
+ s
^2=1
cth PiL - p2 cth paL
Q\ - Qf
XnK (q) - ao -щ;
; - Q
°° -2 2n * ^ (n ^ + "о
&2 - 2rt
При анализе этих выражений следует обратить внимание на подчеркнутые
слагаемые. Прежде всего отметим, что их появление связано со вторым
предельным переходом в (3.15). Это свидетельствует о том, что такой
вклад, связанный g неравномерной сходимостью рядов для напряжений на
границе области, не может быть учтен при использовании способа простой
редукции для системы
(2.10). Следовательно, использование этого способа связано с неустранимой
путем повышения порядка конечной системы погрешностью в оценке значений
напряжений в угловой точке.
Наличие в (3.16) подчеркнутых членов позволяет указать эффективный способ
определения самой величины а0. Рассматривая разность нормальных
напряжений в угловой точке, из (3.16) получаем
1
20
К - °г) \x=L 2=1
х0 cos QyL - z0 cos Qt - a0
Q*.
L +
+ ? j
771=1
00
- S xn
n= 1
2 p2 cth ptL -
2q2 cth q2 - ¦
(4m + p\) (4m + pI)
24mPl
cth pyL
(^+4l)(?n + 9§)
2&i
¦ cth qx
(3.17)
Исходя из соотношений (3.1) и на основании оценок
2 р2 cth p2L ¦
2q2 cth q2 - ¦
(4m + p\) (4rn + Pi)
rfmPi
cth pyL = 0
-i4
4m /
<& + яЬ(? + 4)
2&i
(3.18)
cth qy = 0
заключаем, что ряды в (3.17) быстро сходятся. Поскольку разность
нормальных напряжений в угловой точке задается граничными условиями
(2.4), то для определения а" можно использовать соотношение
О-а =
L (Qo ¦
•Of)
х0 cos QyL - z0 cos Qi - / (1) -f- g (L) +
176
. г " - Го ". г (1й + Р?)(т1т + Р2) it. г"
+ L S zm2p2cthp2L------------------2 cth pxL -
m=1 I. /TlmPl
? Го *u <й+*?>(й+$ 11
- LxJ 2q2 cth ?2-----------------2-------- cth qt . (3.19)
n=i L 2?"(/j JJ
При этом конечная система из М + N + 2 уравнений формируется на основе
соотношений (3.2).
Возможен и несколько отличный способ перехода к конечной системе. Можно
положить
а в качестве недостающего уравнения использовать равенство (3.19).
Конкретные вычисления показали, что оба способа приводят к практически
одинаковым числовым значениям для неизвестных.
Важнейшим практическим вопросом с точки зрения анализа эффективности
изложенного способа решения бесконечных систем является оценка скорости
стремления неизвестных к своим предельным значениям. Для таких оценок
можно использовать данные конкретных расчетов. Кроме того, большой
интерес представляет случай, когда бесконечную систему можно решить
точно.
Как отмечалось при анализе дисперсионных соотношений для слоя можно
указать ряд собственных частот для определенных размеров прямоугольника -
моды Ламе. Эти моды связаны с рассмотренным ранее случаем чистой SV-волны
в слое, когда смещения частиц описываются выражениями (6.4) главы 4.
Поскольку в данных модах касательные напряжения тождественно равны нулю
во всем объеме, то оказывается возможным удовлетворять условия для
нормальных напряжений на свободных торцах. Наложение бегущих навстречу
друг другу волн (6.4) главы 4 образует систему стоячих волн в
прямоугольнике. Вектор смещений имеет компоненты
Построенное выше общее решение задачи должно описывать также движение в
модах Ламе. В связи с этим бесконечный определитель системы (2.10)
обращается в нуль при частотах (3.22) и соответствующих размерах области
