Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворения граничных условий даже при столь близкой к собственной
частоте возбуждения можно повысить увеличением числа уравнений в конечной
системе либо простым увеличением числа членов в рядах для напряжений. Во
втором случае дополнительные неизвестные определяются согласно формуле
(3.20). В столбце для величины oi3) в табл. 8 приведены данные для М =
15, N - 45.
Главной целью при решении задач для тел конечных размеров
(рассматриваемый здесь прямоугольник - конкретный вид таких тел) является
определение собственных частот и форм колебаний. Наличие эффективного
алгоритма решения задачи о вынужденных колебаниях позволяет подойти к
этому вопросу следующим образом. При заданной нагрузке рассматриваем
задачу о вынужденных колебаниях для различных значений частоты. В
процессе изменения частоты о подходе ее к собственной можно судить по
увеличению
180
Таблица 9
2 Q = 2,557 ?2 - 2,585
Я =ш 0 x = L *=.0 х- L
0,0 -19,315 1,004 21,537 0,995
0,2 -21,587 1,002 24,526 0,997
0,4 -27,319 0,999 32,056 1,001
0,6 -33,614 0,994 40,296 1,008
0,8 -36,616 0,988 44,247 1,014
1,0 • -32,291 0,946 38,772 1,057
динамической напряженности внутри области. Переход через собственную
частоту обнаруживается по изменению фазы всех характеристик. Таким
образом обычно фиксируется широкий интервал, содержащий собственную
частоту. Последующее дробление этогб интервала позволяет найти с высокой
точностью как саму собственную частоту, так и характеристики
соответствующей формы колебаний. Отметим, что при приближении к
собственной частоте ухудшается точность выполнения граничных условий при
фиксированном порядке конечной системы. Это свойство является
ограничительным в процессе деления частотного интервала и в некотором
смысле ограничивает степень точности определения собственной частоты при
выбранном порядке конечной системы.
Определенное представление о возможной картине перехода через собственную
частоту дают данные табл. 9, где приведено распределение нормальных
напряжений ах в сечениях х = 0 и
х = L прямоугольника при v = 0,248, L = 2, М = 10, N = 24 в окрестности
шестой собственной частоты.
При отработке такой методики и проверке достоверности результатов большую
помощь может оказать знание точных значений собственных частот и форм
колебаний мод Ламе.
Очевидно, описанным подходом задача решается локально. Для каждого
фиксированного значения L и свойств материала можно найти набор
собственных частот в довольно широком частотном диапазоне. Однако больший
интерес представляет общая задача исследования спектральных свойств и
форм колебаний упругого прямоугольника с изменением его геометрии. При
решении такой задачи изложенная методика позволяет нанести на плоскость
(L, П) некоторую систему точек. Вопрос о соединении этих точек в
спектральные кривые Й = / (L) определенной моды оказывается довольно
сложным из-за специфики резонансных свойств упругих тел конечных размеров
в высокочастотной области. Здесь наблюдается большое число относительно
близких собственных частот, что служит основой для сомнений в возможности
достичь нужной степени разрешения результатов при использовании численных
подходов [211 ].
181
§ 4. АНАЛИЗ СПЕКТРА И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНИКА В ОБЛАСТИ НИЗКИХ
ЧАСТОТ
При исследовании свойств колебательных систем в виде прямоугольника
представляется естественным произвести некоторую классификацию
рассматриваемых частотных диапазонов. Часто при такой классификации в
основу кладется сравнение длины волны с характерными линейными размерами
объекта. Однако после исследования свойств нормальных мод в слое
представляется целесообразным положить в основу такой классификации
свойства дисперсионных ветвей. На рис. 61 (кривые 1-5) и 62 (кривые 1-4)
при v = 0,248 показано несколько первых дисперсионных ветвей
соответственно продольных и изгибных мод в бесконечном слое. Согласно
характеру ветвей низкочастотную область определим как область частот, для
которых в слое | г | < 1 имеется только одна распространяющаяся мода
Иначе говоря, областью низких частот будем называть интервал 0 < Q < Q*
для симметричного и 0 < < Q < 1 для антисимметричного случаев.
На рис. 63 и 64 соответственно представлены спектры собственных частот
прямоугольников для продольных и изгибных колебаний в выделенной
низкочастотной области5. Алгоритм вычислений подробно описан в § 3 данной
главы. Некоторые дополнительные детали вычислений приведены в работе
[44].
Более простой и естественной представляется структура спектра изгибных
колебаний. Самым важным его свойством является отсутствие каких-либо
качественных отличий от полученного на основе элементарных балочных
моделей. Спектральные линии неплохо качественно согласуются с
представлениями об обратно пропорциональной зависимости между собственной
частотой и длиной прямоугольника.
Существуют разнообразные приближенные подходы к изучению колебаний
прямоугольных 1ел. В их основе лежат различные гипотезы физического или
