Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
соотношение
Я + тИ-о.
С учетом того, что F'q (?, 0) = 0 и Fj (?, 0) ф 0, находим
dQ
С
= 0.
(4.7)
(4.8)
Следовательно, комплексные участки пересекают плоскость ?2 = 0 под прямым
углом.
Следующую систему характерных точек комплексных участков ветвей получаем,
рассматривая пересечение их с плоскостью вещественных и чисто мнимых
корней ?, т. е. пересечение с плоскостями г] = 0 и | = 0.
Для нахождения точек пересечения с плоскостью = 0 разложим функцию F (?,
?2) в ряд Тэйлора по малым пг], а именно
F(l Q) = F(f, ?2) + ^Ff(I, ?2)+ ••• =0. (4.9)
Приравнивая порознь вещественную и мнимую части этого уравнения нулю,
получаем
F(l ?2) = 0, i^(I,Q) = 0. (4.10)
Из_ данных равенств при г) = 0 находим обычное уравнение F (|, ?2)= 0,
определяющее систему вещественных участков дисперсионных ветвей. Точки, в
которых комплексные участки ветвей могут пересекать плоскость г) = 0,
определяются системой уравнений
F (i, ?2) = 0, (|, ?2) = 0. (4.11)
Из первого уравнения этой системы видно, что все такие точки должны
принадлежать. вещественным участкам ветвей. Согласно
130
второму уравнению выходы комплексных участков на плоскость А = 0 возможны
лишь в точках, где
-§- = 0, [Fad Я)ф0]. (4.12)
Ч
Этим условиям соответствуют примечательные точки на тех вещественных
участках ветвей, где кривизна при f = 0 становится отрицательной. Как уже
отмечалось, такие точки на вещественной плоскости сравнительно редки.
Следовательно, большая часть комплексных участков, начинающихся на
плоскости ?3 = 0, должна входить на плоскость ? = 0.
Аналогичное рассмотрение для этого случая приводит к системе уравнений
,
F Я ?3) - 0, Л- [F'q Я ?3) Ф О], (4.13)
dr|
определяющих точки пересечения комплексных участков ветвей с плоскостью |
= 0. Как и в предыдущем случае, комплексные участки могут пересекать
плоскость лишь в точках, принадлежащих чисто мнимым участкам ветвей.
Кроме того, эти точки должны быть точками относительного минимума или
максимума зависимости ?3 = = ?3 (т]). Такие точки хорошо видны на рис. 39
и 42. Комплексные участки ветвей также пересекают вещественную и мнимую
плоскости под прямым углом.
Описанные свойства комплексных участков обычно называют "теоремой Оноэ"
[236], хотя, по существу, они отражают общие свойства аналитической
функции действительного и одно1 о комплексного переменных [199, 248].
Объединение всех вещественных, чисто мнимых и комплексных участков -
корней уравнения (3.1) в дисперсионные ветви происходит по следующему
принципу. Каждая ветвь должна непрерывно проходить от нулевой до
бесконечной частоты при некоторых дополнительных предположениях о способе
соединения точек пересечения комплексных участков с плоскостями f = 0 и
т] = 0. Суть этих предположений видна на примере построения комплексных
участков ветвей, начинающихся на плоскости ?3 = 0 в точках, определяемых
уравнением (4.4). Эти точки можно естественно упорядочить по величине
модуля. Тогда соответствующие им точки входа комплексных участков в
плоскостях f = 0 и г] = 0 будут точками относительного минимума,
упорядоченными по возрастанию ?3. Такой же принцип используется при
построении других комплексных участков ветвей. На его основе в работе
[109] приведена схема строения дисперсионных Еетвей для случая
распространения продольных волн в цилиндре. Эта схема воспроизведена
далее на рис. 53. Отметим, что большой объем количественных данных о
корнях дисперсионного уравнения [4, 254, 288] согласуется с предложенным
качественным построением спектра.
9*
111
Каждый комплексный участок дисперсионной ветви вследствие структуры
уравнения (3.1) имеет зеркальное отражение относительно плоскостей | = 0
и г) = 0. Существует также симметрия дисперсионных кривых при замене 1 на
-| и г) на -г). Следовательно, в каждую точку на плоскостях f *= 0 и г) =
0, удовлетворяющую уравнениям (4.12) и (4.13), входят по два комплексных
участка. Таким образом, такие точки являются, по сути, точками
пересечения дисперсионных ветвей. В связи с этим возникает важный вопрос
о продолжении ветвей через указанные точки. Поставленный вопрос можно
решить на основе анализа кинематических и энергетических характеристик
соответствующих мод. Одна из наиболее интересных с этой точки зрения
частей спектра для слоя приведена далее на рис. 46, где показаны разные
дисперсионные кривые. Очень четко видно, как продолжаются ветви после
пересечения в точках относительного минимума на вещественной плоскости.
§ 5. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ - ЛЭМБА.
ФАЗОВЫЕ И ГРУППОВЫЕ СКОРОСТИ
Для анализа вынужденных движений в бесконечном слое, а также для
исследования процессов возбуждения через торец по-лубесконечного
волновода одинаково важны все типы волновых движений, соответствующие
разным участкам дисперсионных ветвей - комплексным, мнимым и
действительным. Для изучения же процесса переноса энергии, а также
структуры волнового поля вдали от источника возбуждения основное значение
имеют распространяющиеся моды, соответствующие вещественным участкам
