Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
при некотором фиксированном п, т. е. для определенной нормальной волны.
Видно, что при возрастании частоты величина sin 9, а следовательно, и
угол 9 уменьшаются, и для очень высоких частот нормальная волна
представляет собой суперпозицию волн (1.1), распространяющихся вдоль оси
Ох.
При уменьшении частоты угол падения и отражения плоских
волн 9 возрастает и достигает значения 90°, когда ks = =
csnл \ *
= -h~). ^Ри эт°й частоте волны в (1.1) распространяются
перпендикулярно оси Ох и отсутствует какое-либо изменение поля вдоль этой
оси. Следовательно, и суперпозиция таких волн не образует бегущую волну.
Частота шл, на которой нормальная волна соответствующего номера п
перестает быть распространяющейся, называется частотой запирания. Для
частот ш < из первого уравнения в (1.6) видно, что ? становится чисто
мнимым. Таким
/ ^17
ч ! т
1 К !
1 \
л-о
л"?
/и- 4 /
' - i , ^
/7=2
Рис. 36.
8 1841
113
- Q
/ / / / / > -' V / '/У
/ / / ( / \\ \ \ / Г S/y> S/s *
/ / / / / / г / / У / / / / / / / / / , о ^ 4 у у
/ / / 1 1 / / / / ' 1 1 / / / 1 1 Гг
Im? 6 Рис. 37.
Re?
образом, приходим к решению граничной задачи для слоя, которое
экспоненциально изменяется вдоль оси Ох и называется неоднородной волной.
Решения такого вида важны при изучении волновых полей в полуограниченном
волноводе.
В теории волноводов для большей наглядности дисперсионные соотношения
представляют графически в виде зависимости безразмерной частоты Я = от
безразмерной постоянной распространения | = 2|Л/я. В этих координатах
соотношения (1.6) представлены на рис. 37. Симметричным модам отвечают
сплошные линии, антисимметричным - штриховые.
Для характеристики всех кривых в области вещественных зна-
чений I важно отметить, что с ростом частоты Я фазовая
<й/?
и групповая cg - d<a/d% скорости каждой нормальной волны стремятся к
величине cs.
Из представленных на рис. 37 данных следует, что для каждого значения
частоты Я дисперсионные уравнения (1.6) обладают некоторым конечным
числом вещественных корней и бесконечным числом мнимых корней. Первые
корни соответствуют распространяющимся модам, переносящим энергию.
Средний по времени поток энергии через поперечное сечение волновода в
этих модах положителен. В то же время для нераспространяющихся мод,
соответствующих чисто мнимым корням, средний поток энергии равен нулю.
Важной особенностью распространяющихся мод в рассматриваемом случае SH-
волн является то, что знаки групповой и фазовой скоростей в каждой моде
совпадают во всей области частот. Это существенно упрощает постановку и
удовлетворение условий излучения в волноводе при распространении SH-волн.
Данные условия сводятся, по сути, к выбору знака фазовой скорости в
соответствии
114
с расположением источников. Так, если все источники движения
сосредоточены в области | х | < а (см рис. 35), то волновое поле в
области х > а должно содержать бегущие волны только с положительными
фазовыми скоростями. В области я < -а фазовые скорости бегущих волн
должны быть отрицательными.
Набор решений, соответствующий всем вещественным и мнимым корням для
данной частоты, позволяет, в частности, достаточно просто рассмотреть
задачу о гармоническом возбуждении торца полубесконечного волновода х > 0
с учетом условий излучения, а также задачу об установившихся колебаниях
бесконечного слоя при нагружении конечного участка его границы. Как видно
из формул (1.7), вопрос о фактическом удовлетворении граничных условий на
срезах х = const сводится к определению коэффициентов ряда Фурье по
набору нормальных волн, соответствующему типу симметрии задачи. Эти
задачи обсуждаются в главе 7.
§ 2. ВОЛНЫ РЭЛЕЯ - ЛЭМБА.
ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕН>?
Как и для полупространства, в случае слоя со свободными границами Р-и SV-
волны не могут существовать независимо. В связи с этим картина волнового
движения в слое для такого
типа движений является более сложной. Однако при выводе дис-
персионных уравнений можно с успехом использовать прием, указанный для
SH-волн.
Рассматриваемое волновое поле представляет собой суперпозицию падающих
и отраженных плоских Р- и SV-волн, а именно
Ф = ф, 4- Ф2, ау = ау 1 + ау2, (2.1)
где
Ф, = Ф2 ехр [ikp (х cos 9 + 2 sin 9)]; ф2 = Ф2ехр [ikp (х cos 9 -zsin
9)]; ау\ = Ах ехр [/As (х cos у + z sin у)];
&у2 - А2 ехр [/As (х cos у - z sin у)]; > (2.2)
k = -- • k аа ю
Р Ср ' S CS ¦
Поскольку совокупность движений, описываемых этими потенциалами, должна
представлять нормальную волну, бегущую в положительном направлении оси
Ох, между волновыми числами kp и ks и углами 9 и у необходимо
существование соотношения
&pcos9 = &scosy = g. (2.3)
Из этого соотношения следует, что при отражении от границы z - h плоской
волны с потенциалом ф2 возникают продольная волна по направлению волны ф2
и сдвиговая волна по направлению волны ау2- Аналогично при отражении
волны ауi отраженные волны
8* 115
/ТУ/ТУS/У""
г также совпадают по направлению
