Гармонические колебания и волны в упругих телах - Гриченко В.Т.
Скачать (прямая ссылка):
задаются выражениями
Т 0,0. Fq (0> + F\ (0* Qo) = °* (3-18>
F\ (0. - F%0 (0, ?20) - 0;
F^ (0, П0) -
Fqq (0, ?20) =
F'a( 0,
(3.20)
Из формул (3.18)-(3.20) находим
Аналогичные выкладки можно провести и для чисто мнимых значений 1 = й]
вблизи точки (0, ?2,,). Получаем da
О при Fa (0, ?20) Ф 0, (3.23)
dr1
о,а"
cPQ
, • (3.24)
dif |o,Q" dg2 Jo.Qe
Одной из наиболее замечательных особенностей диспере'ионных соотношений
(3.1) является та, которая следует из анализа выражений
(3.22) для кривизны ветвей в окрестности частот запирания. Можно
установить, что для определенных частот кривизна ветвей становится
отрицательной. Это означает, что в окрестности таких точек дисперсионная
ветвь опускается ниже частоты запирания. Такая ситуация характерна,
например, для второй ветви (см. рис. 39) Это, конечно, не единственно
возможный случай, и соответствующие значения частот могут быть получены
из формул (3.22) путем вычислений. Так, для коэффициента Пуассона v =
0,31 из первых 150 ветвей только вторая и тридцать девятая обладают
указанным свойством. В определенной степени возможность данной ситуации
связана с величиной v. Однако для второй ветви спектра она имеет место
при любых значениях v. В таких случаях минимальное значение частоты, при
котором еще существует распространяющаяся мода, будем называть частотным
минимумом и применительно ко второй ветви обозначать ?2*. Эта величина
зависит от коэффициента V. На рис. 40 такая зависимость показана кривой
1. Существенно зависит от величины v частота запирания ?2 - k. Наоборот,
частота запирания ?2 = 2 от коэффициента v не зависит. Это приводит к
тому, что при v < V3 частоты запирания ?2 = k и ?2 = 2 соответствуют
второй и третьей ветвям соответственно, а при v > V3 частоты запирания
как бы меняются местами. Несмотря на это участок с отрицательной
кривизной по-прежнему связан со второй ветвью. Графически зависимость
частот запирания второй и третьей ветвей от величины v представлена на
рис. 40 кривыми 2 и 3 соответственно.
В исключительном случае, когда Fq (0, ?20) = (0, ?20) = 0,
т. е. когда в окрестности точки (0, ?20) уравнение F (|, ?2) = 0 не
определяет частоту ?2 как однозначную функцию от |, величина d?2/d|
находится из соотношения (3.19):
dQ 4
dg о,а" = ± яйо ' (3 ^
В терминах групповой скорости здесь имеем такую ситуацию, когда эта
скорость уже не равна нулю, несмотря на то что соответствующие обеим
ветвям моды становятся нераспространяющимися (1 = 0). В § 5 данной главы
мы проанализируем эту кажущуюся парадоксальной ситуацию более подробно.
12S
Как видно из рис. 39, частотный интервал для соседних величин Qp и Qq
является основой для петли в области чисто мнимой постоянной
распространения. В ряде случаев, однако, возможно совпадение значений Яр
и Яв на оси частот Одним из примеров такой ситуации является случай v -
Vs (k = 2). При этом Яр = Яв = 2 (/> = 1, q = 1) и совпадение происходит
для всех нечетных значений q. В связи со сказанным необходимо рассмотреть
поведение петель в каждой части | при изменении величины v. Формальная
подстановка в (3.23) значения v = V3 приводит к отрицательному значению
величины ld.Q/dr\ |o,q0]2. Это можно истолковать как указание на то, что
соответствующие петли исчезают. Однако интересно проследить процесс
такого предельного перехода при v -> 1/3 (k -> 2). Если в таком
предельном переходе петля, связанная со второй и третьей ветвями, только
уменьшается в размерах, то петля, связанная с четвертой (Яр == 4) и пятой
(Qp = 3k) ветвями, ведет себя иначе. На рис. 41 схематически показано
последовательное изменение структуры этой мнимой петли при возрастании
величины v в процессе стремления ее к значению х/3 (кривые 1-5
соответственно пронумерованы в порядке роста величины v). Видно, что в
процессе изменения v происходит довольно существенная перестройка
спектра. Если вначале уходящая ветвь в мнимой области f = it] начинается
в точке Яр = 6, то с приближением величины v к V8 уходящая ветвь
начинается уже в точке Я,, == 4.
Детальное изучение наклона и кривизны в узлах сетки дает возможность
изобразить качественное поведение вещественных и чисто мнимых участков
дисперсионных ветвей. На рис. 39 показан спектр продольных мод для
коэффициента v = 0,31 [236]. Анализ антисимметричного деформирования слоя
(изгибные моды), описываемого дисперсионным уравнением
F, (|, Я) еее (2# - Я2)2 sin -f-cosif + 4сф?2 cos = 0,
(3.26)
126
? в 7 Рис. 42.
производится аналогично. Структура вещественных и чисто мнимых участков
спектра для этого случая представлена на рис. 42 для v = = 0,31 [236].
Знание особенностей поведения этих участков очень важно для построения,
хотя бы качественного, комплексных частей дисперсионных ветвей.
§ 4. АНАЛИЗ ДИСПЕРСИОННОГО УРАВНЕНИЯ
РЭЛЕЯ - ЛЭМБА. КОМПЛЕКСНЫЕ КОРНИ
Сам факт наличия комплексных корней у дисперсионного уравнения (3.1)
свидетельствует о существенном различии в свойствах упругого слоя как
