Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
определяется уже не малой длиной волны фотона Л, а тем, как далеко успеют
разойтись виртуальный электрон с исходным.
140
Глава 2. Частицы со спином 1/2
\
виртуальный
электрон
Ее можно оценить из соотношения неопределенностей. Виртуальный электрон
может просуществовать время At ~ 1/АЕ ~ 1 /га и за это время уйти на
расстояние А г ~ 1/га. Отсюда и следует, что при больших энергиях
существенным является только обменный процесс и его сечение а ~ ^ в
соответствии с (2.131). Однако полное сечение процесса остается
маленьким, поскольку пик рассеяния назад, где сечение не мало:
dcr е4 dQ га2 '
очень узок |бЮ| ~ m2/s.
2.7 Аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона
е+ + е ^27
Чтобы получить двухфотонную аннигиляцию электрон-позитронной пары,
достаточно рассмотреть рассеяние фотона на электроне с точки зрения t-
канала.
2.7. Аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона 141
ki
k2
+
Pl Р 2 Pi
Как всегда, сделаем замену
Р2 = -pi, h = k[. Диаграммы можно перерисовать так:
Р 2
к2
(2.132)
Р1
-Pi
-к[
к2
+
Р1
-Pi
к2
~к[
Внутренние части диаграмм те же самые, и им, как и раньше, соответствует
M^v. С учетом того, что
U(~P2 ) = ~v(pt), для сечения можно написать следующее выражение:
da = \^2(Р2 )e^MliVe^1uXl(p1)\2dT =
xlx2
= -Sp[(j3i + m)M)ll,(-m + р^ )Ml,fJ]dr. Мы учли здесь то, что вместо
(2.133)
(2.134)
142
Глава 2. Частицы со спином 1/2
в данном случае будет присутствовать
= -(т-Р2)сЧЗ-
А
Знак " оттого, что u(-p) = v(p), а й(-р) = -v(p). Вычисление следа даст
тот же результат, что и в случае рассеяния, только с другим знаком, а
переменные s,t, и будут иметь другой смысл: t - квадрата полной энергии в
с.ц.м., s,u < 0 - переданных импульсов, так что сечение можно записать в
виде
2 О 9
dcr = - ?
s - m
и - га
и - га
s - rn
dT. (2.135)
s - тЛ и - тЛ '
В этом случае d.Г - фазовый объем, деленный на поток - уже другой,
поскольку фазовый объем двух фотонов отличен от фазового объема электрона
с фотоном.
Вычислим с?Г в с.ц.м. Инвариантный поток тогда будет иметь вид
J = (pi = |pi| = |рг|),
поскольку теперь роль энергетической переменной играет t. Тогда
1 d4k25+(k2)5+((k2-Pl -pt)2) _
dT =
4piVt (2тг)2
1 d4k2d+(k%)5((k2 -Р)2),
dT =
4pi\/i (2тг)2 '
(k2 -p)2 = t - 2k2p = t - 2koVt = 2\ft - k2
! 5+(к20-Ц)5+(2^^-к20))
4piv/i (2?r)2
1
dk2sk^dk2dQJ =
4piV^2V^ (2тг)2 1 |кг| dSl - 1
dfl
I6p±t (2ir)2 Здесь |k2| = Vt/2.
16t pi (2tt)2
(2.136)
2.7. Аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона
143
Выразим теперь р\ через инвариантные переменные (в данном случае |pi| ^
|к21 в с.ц.м., поскольку частицы обладают разными массами). Имеем
t = (pi+pt f =
= Pi+ P22 + 2P10P20 - 2PiP2 = ml + ml + 2pwp^0 - 2papJ,
В с.ц.м.
(P1+P2)2 = 0 = pi+p^2 + 2pipj,
откуда
-2P1P2 = Pi + P22 ¦
Следовательно,
t - m\ + m| + p2 + pj2 + 2\J(m2 + PiXm^ + pJ2) , (2.137)
V~t - yjTfi2 -\- p2 -\- 'sjin2 -\- p^2• (2.138)
Учитывая, что
2 2 Pl =P2
, и решая квадратное уравнение относительно р2, получим
lpi| = ^\A2_2t(TOi + ^1) + {m\ - m22)2. (2.139)
В нашем случае m\ = m2 = m, поэтому
лЛ - 4m2
В случае рассеяния (см. (2.120)) было бы m\ = m, m2 = 0, и эта формула
дала бы с учетом s -> t
h =
s - m2
2^ '
т. e. k\ действительно совпадает с &2, потому что к\ и к2 описывают
частицы с одинаковыми массами.
Итак, мы получили, что в с.ц.м.
dr =------, 1 (2.140)
16y/t(t - 4m2) (27г)
144
Глава 2. Частицы со спином 1/2
(Выразив бЮ через инвариантные переменные, мы, в принципе, получили бы
релятивистски инвариантное выражение, справедливое в любой системе
отсчета, хотя вычисления и проводились в с.ц.м. Это мы проделали в случае
рассеяния.)
Теперь проанализируем полученное выражение для сечения аннигиляции:
da = -
га
2 ^Jt(t - 4га2)
s - гпЛ
+
га"
и - ш
га"
га"
и - га2 5 - га2 +
s - ш
и - га
+
бЮ
(2^
(2.141)
t = 4 ж2
t = 2 m
Физической областью этого процесса является t > 4га2.
1. При t ~ 4га2, б?Г -> оо, т. е. сечение очень велико (da -> оо).
Физически это понятно из следующих соображений: t ~ 4га2 - это
соответствует очень медленным частицам, т. е. поток налетающих частиц
очень мал, j ~ 0, а сечение - это отношение вероятности процесса к потоку
d" ~ Ш!,
3
поэтому da -> оо. Но, с другой стороны, почему такая ситуация не
встретилась нам при рассеянии, при j -> 0? Дело здесь в том, что при j ->
0 в упругом рассеянии число конечных состояний тоже мало, а при этом \W\2
-> 0, так что две малости сокращаются. В случае же аннигиляции,
независимо от энергии начальных частиц, в конечном состоянии
2.7. Аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона
145
рождаются фотоны больших энергий, их фазовый объем конечен (не стремится
к нулю), поэтому сечение и растет.
2. t > 4га2. В случае больших s ~ и ~ | (т. е. рассеяние на
угол
6> - 90° )
е4 1 dfi
^"77(2^' (2Л42)
В области же больших переданных импульсов s ~ t, и ~ 0 имеем (рассеяние
на большие углы):
е4 1 d?i
do - ----о----/г> чо • (2.143)
8 гп2 - и (2тг)2
