Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
частицей, обладает правым винтом, то античастица будет левовинтовой.
3.1.4 СРТ-теорема
Что произойдет, если мы последовательно проведем все три преобразования?
Импульс преобразуется при этом следующим образом:
Р = Оо, р) Оо, -р) (Ро, р) (Ро, р),
а спин преобразуется так:
С = (Со,С)-^(-Со,С)
Для спиноров имеем
(-Со, -С) (Со, с).
йт(р"(") =
и(р, С) -> и(р',С) = 1ои(р,С)
С ' '
= По717зи(У, СО = *7о717з7ом(р,С) -> v(p" ,С" ) = = -Стйт(р",С") = -*7о72
• *7о717з7ом(р,С) =
= 71727з7ом(р, С) = *75"(р, С)-
На диаграммах эти преобразования будут выглядеть так: Ph§i J>з,Ь ф^'з
Рз,-?з Pi,-?i -рз- -цз
(3.29)
(3.30)
(3.31)
-Ръ ~6
Р2^2 р?7& рГГ?4 Р4, -^4 Р2, -6 -Р4, ~Р2, ~Ь
То есть преобразование СРТ привело к тому, что по сравнению с исходной
диаграммой все импульсы и поляризации поменяли знаки. Инвариантность по
отношению к СРТ означает, что амплитуда процесса
170
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
для частиц совпадает с амплитудой процесса
Рз,Сз;Р4,С4 ->Pi,Ci;P2,C2
для античастиц.
Квантовая электродинамика, очевидно, инвариантна относительно С РТ,
поскольку есть инвариантность относительно каждого из этих преобразований
в отдельности. Можно убедиться в этом и непосредственно, пользуясь
полученным преобразованием спиноров.
Гй = "ООТа^Оз) = u(pi)757M75u(p3) = -u(pi)7Mu(p3), но с другой стороны,
6^ (бо5б) > (^0? ^ (^0? *^) ^
т. е.
р' j - р е
А можем ли мы придумать такое взаимодействие, которое бы нарушало СРТ-
четность, но в то же время являлось бы релятивистски-инвариантным?
Очевидно нет, так как замену знаков у 4-импульсов и поляризаций можно
получить комплексным преобразованием Лоренца, т. е. преобразование СРТ
является, при наличии аналитичности, элементом группы Лоренца.
Таким образом, СРТ является фундаментальным следствием нашей теории
(следствием релятивистской инвариантности и причинности). Нарушение же Р,
Т, CP, РТ и т.д. ничему не противоречит и обусловлено свойствами
взаимодействующих частиц. На самом деле, ни одна из этих симметрий не
выполняется строго. Смысл СРТ-теоремы состоит в следующем. Частица может
обладать винтом, часами, зарядом. Если мы припишем частице определенный
винт, направление времени и заряд, то античастица будет обладать
противоположными и винтом, и направлением времени, и зарядом, а в каком
мире мы живем, мы определить не можем.
Приведем в заключение некоторое полезное соотношение, которое справедливо
в случае РТ-инвариантности. При преобразовании РТ импульсы
РТ
(Р0,Р) ---> (ро,р),
а спины изменяют знак:
3.2. Причинность и унитарность
171
Сохранение РТ означает равенство амплитуд:
ЖРьСъР2,С2;РЗ,Сз,Р4,С4) =
= А(р3, -Сз,Р4, -С45Р1, -СьР2, -Сг)"
На языке S'-матрицы это означает:
(3.32)
Sab = S~bd
(3.33)
(волной мы отметили то, что спины перевернуты). Однако если мы от
перейдем к другим переменным, также полностью характеризующим систему, в
которой спины объединены в полный момент, т. е.
то от М ничего не будет зависеть, поскольку это проекция полного момента
на произвольную ось, и в этом случае
3.2 Причинность и унитарность
Считается (гипотеза), что амплитуды любых реальных процессов должны с
необходимостью удовлетворять условиям унитарности и причинности.
Рассмотрим подробнее, что эти условия означают и к каким ограничениям на
амплитуды они приводят.
набора
Pl,P2, • • • ,Рп,
CbC2,...,Cn
Ei,E2, ... Еп,... J, М,
(3.34)
3.2.1 Причинность
Пусть имеется некоторый процесс (забудем пока про спины):
к к'
172
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
С точки зрения причинности нас будут интересовать зависимость амплитуды
от точек х\, х2, поэтому запишем ее в виде
F =
где
J егкх2 гкхг fpp,(Xltx2)d4Xid4X2, (3.35)
fpp'(xi,x2) = J егрУ2 WVlf(x1,x2;y1,y2)d4y1d4y2. (3.36)
В силу трансляционной инвариантности (однородность пространства-времени),
амплитуда f{x\, х2; у\, у2) зависит только от разностей координат. Замена
Xi = х • + а,
Уг = y'i + a (3-37)
приведет лишь к изменению показателей экспонент в (3.36), при этом
функция fPP'(x i,x2) преобразуется следующим образом:
fpp'(x 1,х2) = ег(р'~p^afpp> (х^,х2). (3.38)
Поэтому функцию fppf можно представить в виде
fpp'(xi,x2) = ег('р'~р)('Х1+Х2)^fpp'ixj -х2). (3.39)
Действительно, при трансляции (3.37) функция (3.39) будет
преобразовываться по закону (3.38), поскольку
Х\ - Х2 = х[ - Х2,
Х\ -Ь х2 = х^ -Ь х2 Н- 2а.
Тогда, перейдя в (3.35) к переменным х2 - х\ = х\2 и х\ + х2 для
амплитуды F, получим
х ei<*'-pHXl+xMfpp,(x 1 - x2)d4(xi + x2)d4x12.
Интегрируя no d4(x\ +х2), получим
F = (2w)45(p + k-pf-к')х X J el{J^rA{x2~Xl\x2-xi)fpp'{x12)d4x12 =
= (27Г )45(p + к - pf - kf)f(k,kf;p,pf). (3.40)
3.2. Причинность и унитарность
173
Как всегда, следствием трансляционной инвариантности является сохранение
энергии-импульса. Итак, появление ^-функции в амплитуде - факт общий,
который выражает однородность пространства-времени.
Что означает причинность на языке амплитуды (3.40)? Причинность означает,
что область интегрирования х2о < хю и х\2 < 0 не должна давать вклада в
