Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
другом представлении.
Таким образом, функции Грина электрона и позитрона различны, и связь
между ними осуществляется посредством матрицы зарядового сопряжения. Это,
однако, не вызывает проблем, так как в природе мы не встретили частиц со
спином 1/2, совпадающих со своими античастицами. Поэтому в том, что их
функции Грина разные, ничего плохого нет, так что, как и раньше, мы можем
приписать G(x2 - х\) при t2 < t\ смысл функции распространения позитрона
из х2 ъ х\. Если бы такая
114
Глава 2. Частицы со спином 1/2
(т.н. майорановская) частица существовала, то она могла бы описываться
тем же способом, но ее взаимодействие не должно было бы меняться при
зарядовом сопряжении. Можно также было бы построить формализм, в котором
асимметрия в описании не появлялась с самого начала.
2.3 Матричные элементы амплитуд рассеяния для электронов
Рассмотрим процесс рассеяния электрона на электроне:
XI Хз
Х2 Х4
Для вычисления его амплитуды нужно устремить
^10,^20 -" - 00, ^30,^40 -" +00.
Этим однозначно определяются правила обхода полюсов в функциях Грина,
соответствующих внешним линиям, и вместо них появятся Ф^(жз)Ф^(жз) и
т.д., которые, в отличие от случая скалярных частиц, будут иметь
матричный характер.
Посмотрим теперь на диаграмму сверху, т. е. устремим
^10,^30 -> -ОО, ?20,^40 -> +°°-
Функции Грина, описывающие распространение из х\ в х'х и из х'4 в Х4,
останутся прежними, а от оставшихся появятся (в силу изменения
направления обхода полюсов)
"Фа (*3)Ф^(*3)
и т. д. (см. рис.).
2.4. Взаимодействие электрона с фотоном
115
П
Итак, при вычислении амплитуды рассеяния частиц со спином, как и для
бесспиновых частиц, вместо функций Грина внешним линиям надо сопоставлять
волновые функции. Буквально повторяя выкладки (1.157) - (1.159), получим,
что наша амплитуда перехода будет отличаться от (1.159) только спинорными
множителями, причем будут входить
от начального электрона и,
от конечного электрона й,
от начального позитрона -v,
от конечного позитрона -v.
Кроме того, из (2.63) следует, что каждой позитронной линии нужно
сопоставить множитель -1. (Это было несущественно в приведенном выше
примере, поскольку мы имели две античастицы, но существенно, например,
для процесса аннигиляции е+е- ->77.)
Резюмируем: чтобы получить амплитуду перехода частиц со спи-
нужно вычислить внутреннюю часть диаграммы в импульсном представлении и
умножить ее на спиноры от внешних линий в соответствии со сказанным выше
(множители 1/у/2ро будем, как и раньше, учитывать при вычислении сечений
в фазовых объемах).
2.4 Взаимодействие электрона с фотоном
Рассмотрим, как обычно, простейший процесс:
ном 1/2,
S(pi,p2;k1,k2),
116
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Попытаемся написать для него амплитуду
T(k,p2-,pi).
Как мы показали, начальному состоянию электрона нужно сопоставить ux(pi),
конечному - йх (рг)? фотону же, как обычно, е^. Тогда можно написать
T(k,p2;pi) = (р2)Г^а(р1,р2, k)ux{pi)el. (2.66)
Гра(Р1,Р2,к) соответствует вершине (т. е. внутренней части диаграммы).
Еще должна присутствовать 5-функция, выражающая закон сохранения 4-
импульса, но ее, как и множители типа 1/у/2ро, будем учитывать при
вычислении сечений.
Выясним возможный вид матрицы Г^а. Из чего мы ее можем сконструировать?
Она имеет векторный характер (fi - векторный индекс), а в нашем
распоряжении имеются четыре вектора, характеризующие процесс:
Р1ц,Р2ц,к1Л и 7М.
Но, на самом деле, они связаны законом сохранения
Pi = Р2 + к.
Поэтому введем
Ри = (pi +P2V, kp, 7М и в самом общем виде напишем
гм = а7й + + скц, - dj^pi + d'fal"- (2-67)
Однако надо помнить, что Г стоит в обкладках между двумя спинорами,
которые удовлетворяют уравнениям
(pi - m)u(pi) = О, й(р2)($2 ~ т) = О,
тогда в последних двух слагаемых (2.67) pi и ро дадут т, и оба они
сведутся к первому.
Можно добавить к (2.67) члены
dpiln - d'lu.fa-
2.4. Взаимодействие электрона с фотоном 117
Однако
Р17м = PlvlvlfJL = -Pivhilv + 2 SpvPiv = -J^Pi + 2piM,
т. e. такие члены сведутся к первому и второму слагаемым (2.67), так что
самый общий вид
Гм = а7м + Ърм + скц. (2.68)
Перепишем (2.68) в несколько ином виде. Во-первых,
4P2)bfiP + P7/iMPi) = 2p^(p2Mpi). (2.69)
С другой стороны,
Pi + Р2 = 2pi - fc = 2р2 + fc
и
^(P2)[7mP + P7mW(Pi) = 4ra^(p2)7/XPi) + й(р2)(&7м " 7/^Mpi), (2.70)
т. е. вместо рм можно написать &7М - 7М& и
Гм = а7м + 6(&7М - 7Mfc) + cfcM. (2.71)
(Естественно, а, b, с здесь уже другие, чем в (2.68) .)
Теперь определим коэффициенты а, b, с. У нас Гм должна удовлетворять
условию поперечности
= 0. (2.72)
Из (2.71) находим
Гм = а& + ск2, (2.73)
тогда
й(р2)А:йГйи(р1) = a[u(p2)(pi - P2)u(pi)\ + ck2u(p2)u(p1) = 0. (2.74)
Поскольку
й(Р2)(Р1 -P2)u{pi) = u(p2){m - m)u(pi) = 0, то из (2.74) следует, что с =
0.
118
Глава 2. Частицы со спином 1/2
О константе b ничего сказать из общих соображений нельзя, пока
известны две частицы, для которых с большой точностью b = 0
- это
электрон и р-мезон (хотя малая величина b генерируется даже для этих
