Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
частиц динамически при учете более сложных радиационных процессов).
Обычно полагают
6 = 0, а = const. (2.75)
Это так называемая гипотеза минимальности электромагнитного
взаимодействия. Ее основания, с одной стороны, простота, с другой, то,
что при Ъ 0 нельзя построить замкнутой теории. Далее мы покажем, что Ъ =
const соответствует аномальному магнитному моменту частицы. Таким
образом,
= еЪ (2.76)
(через некоторое время мы покажем, что коэффициент пропорциональности,
как и раньше, равен заряду частицы). Инвариантную амплитуду (2.66)
испускания электроном фотона можно теперь переписать в виде
Те- = ейх'(р2)ёаих(р1), (2.77)
где
е'7 = ЪеI-
Чтобы описать излучение позитрона, как мы говорили, внешним линиям надо
сопоставить v и v, т. е.
Те+ =evx(pt)e°vx'(p+). (2.78)
Здесь, хотя vx(fit) описывает начальный позитрон, мы его поставили слева,
поскольку он с чертой.
Рассмотрим связь этих амплитуд. Для этого вспомним, что
Vх (р) = их(-р) = -[й~х(р)С]т = С[й~х(р)]т,
vx(p) = их(-р) = -йх(-р) = [и~х(р)]т С. (2.79)
Тогда, поскольку СёС = [ё]т, то
Те+ = ей х'(р?)ё,7и x(pf),
(2.80)
2.5. Рассеяние электронов. Связь спина со статистикой
119
т. е. амплитуды Те~ и Те+ одинаковы с точностью до спиновых переменных.
Взглянем на их связь теперь с другой точки зрения. Перерисуем для этого
график, соответствующий излучению фотона электроном, в виде
--------М--^----М----- Р1О,Р2О<0
Р2 Р1
и сделаем замену
Pi = -Р2 > Р2 = ~Pl-
Тогда получим аналитически продолженную амплитуду Тпрод
ТЪрод = eu(-pf )ёаи(-р^) = -ev(pf )eav(p%), (2.81)
которая с точностью до знака совпадает с амплитудой испускания фотона
позитроном. Это и следовало ожидать, поскольку замена знака координат в
^-пространстве эквивалентна замене знака импульсов в р-пространстве и,
естественно, заменив р на -р, мы получим амплитуду для античастицы, как и
раньше. Но откуда взялся минус? Это связано фактически с определением
амплитуды
f J d3r,
причем под интегралом стоят сопряженные функции. Однако, когда мы имеем
дело с частицами, описываемыми спинорами, это свойство при продолжении в
область отрицательных р не сохраняется, поскольку u(-pi) уже не является
сопряженной для функции и(- р±) (см. (2.79) ). Поэтому лучше Тпрод не
называть амплитудой, а определить
^прод = ~Те+1.
Этот знак не имеет значения при вычислении сечений.
2.5 Рассеяние электронов.
Связь спина со статистикой
При рассеянии электрона на электроне возможны следующие простейшие
процессы:
120
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Р1
Рз
V1
±
?>2 РА Р2 РЗ
А как мы должны сложить эти амплитуды, с "+" или с С точки
зрения принципа Паули, знака "+" быть не может, поскольку при замене Рз
Р4 все перейдет в себя, а амплитуда для частиц со спином 1/2 должна быть
антисимметричной, т. е. амплитуды нужно вычитать.
Но нельзя ли вопрос о знаке выяснить из более общих соображений? То есть
не придем ли мы просто к противоречию, если положим знак "+"?
Оказывается, что достаточно следующих двух требований к теории, чтобы
однозначно решить вопрос о знаке:
1. условие унитарности
SS+ = 1
(это требование, чтобы сумма всех вероятностей равнялась единице);
2. причинность.
Рассмотрим нерелятивистский случай:
f = -^J e-ik'r'V(rf)^+(r')d3rf. (2.82)
Выражая Ф+(г') через функцию Грина, получим
f = fB + ^ J e~ik'v' V(rf)G(r', y)V(r)eikrd3rd3r', где /в - амплитуда в
борновском приближении. Поскольку
G(r',r) = ^*f)*y), (2.83)
ТО
/=ь+<2-84>
2.5. Рассеяние электронов. Связь спина со статистикой
121
где
fnk = J e~ikrV(r)tyn(r)d3r. (2.85)
Существенно здесь то, что в сумме (2.84) при к = к7 стоит положительная
величина f*kfnk'• Как мы покажем ниже, этот факт есть прямое следствие
условия унитарности. Амплитуда, как функция энергии, имеет полюс при
энергии связанного состояния, т. е. при Е = Еп. Вычет в полюсе - всегда
величина отрицательная (в знаменателе Еп - Е).
Покажем теперь, что условие унитарности фиксирует однозначно знаки
амплитуд, отвечающих различным диаграммам.
Рассмотрим сначала случай скалярных частиц. Имеем
Vi t р з pi u Р4
Р2 РА Р2 РЗ
S = (pi+ Р2)2 , u = (pi- Pif , t = (pi- Рз)2 •
В 5-канале особенностей по s нет (т. е. фактически по энергии, а у нас
есть условие именно на вычет в полюсе по энергии).
Перейдем в t-канал (для этого надо на первый процесс посмотреть сверху).
Это будет процесс
е+ + е~ -> 7 -> е+ + е~
второго порядка, который идет через промежуточное состояние (гамма-
квант). Оно и соответствует сумме в (2.84), причем имеется полюс по
энергии (t в этом канале отвечает энергии) в t = 0, это как раз
соответствует энергии промежуточного состояния ш7 = 0. Вычет же в полюсе
должен быть определенного знака из условия унитарности. Этим и
определяется знак перед первой амплитудой. (Вторая же амплитуда в t-
канале не имеет особенностей.) Поскольку в вершинах стоит
(Р1 - Рз )м(Р4 - г>2 )м - "4Pl (Pi ~ Р4)
в системе центра масс, так как Е\ = ?3, Е2 = Е4, то вычет в полюсе
отрицательный, следовательно, перед этой амплитудой должен стоять знак
