Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
соображениям в главе 9, где будет рассматриваться связь между методом
Гамильтона и геометрической оптикой.
Если система состоит из .одной точки, то её кинетическая энергия равна
Это равенство выражает dt через длину элемента траектории точки. В
рассматриваемом случае принцип наименьшего действия в форме
(7.38) можно записать в виде
Д J 2 Г ?f/ == A f У2т Т ds = Л J У 2m (Н - V) ds - 0, (7.40)
где вместо Y\dr |2 мы пишем ds. Принцип наименьшего действия в форме
(7.40) можно распространить и на систему, состоящую более чем из одной
точки, обобщая понятие длины дуги. Пусть такая система описывается
обобщёнными координатами qit причём согласно поставленному условию
уравнения, описывающие зависимость г,- от <74, не содержат времени. Тогда
кинетическая энергия системы будет однородной квадратичной функцией
обобщённых скоростей [см. уравнение (1.62)], и можно будет написать
i, к
(мы пишем Mjk вместо 2aifc). Если ввести теперь дифференциал dp с помощью
равенства
Т - mv2
1 dr 2
ТГ til -Г*
откуда
или
(7.41)
№)2 = 2 Щк d4i dqk,
(7.42)
г, к
то кинетическая энергия Т примет вид
(7.43)
откуда
254
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[гл. 7
Если воспользоваться этим выражением для dt, то принцип наименьшего
действия можно будет записать в виде
и
Д J Tdt = Lj УТ</р = О,
ti
или окончательно
Д/У77 - V(q)dp = 0. (7.44)
Полученное равенство имеет такую же форму, как равенство (7.40),
относящееся к одной материальной точке. Принцип, выражаемый уравнением
(7.44), часто называют принципом наименьшего действия в форме Якоби.
Введённый нами дифференциал dp имеет формальный характер, однако он
приводит к весьма изящной интерпретации, которую мы сейчас рассмотрим.
В дифференциальной геометрии равенство типа (7.42) является наиболее
общим равенством, определяющим элемент длины кривой в "-мерном
пространстве с координатами qv ..., qn. При такой интерпретации
коэффициенты mik будут коэффициентами так называемой фундаментальной
метрической формы. Если, например, 4i будут декартовыми координатами
обычного пространства, то эта форма будет очень простой и коэффициенты её
будут равны
Щ* = 8i*> что ясно из сравнения формулы
{dsf = (dxf + (dyf -f (,izf
с равенством (7.42). Вообще для любых криволинейных ортогональных
координат матрица коэффициентов mik будет диагональной (но диагональные
элементы её не обязательно будут равны, как в случае декартовых
координат). В случае, например, цилиндрических координат элемент длины
будет равен
{dsf = (drf + г2 (db)2 -f (dzf,
так что отличными от нуля коэффициентами здесь будут лишь тгг, тт и тгг,
равные
mrr= 1, от99 = г2, тгг = 1.
Если же криволинейные координаты не являются ортогональными, то матрица
коэффициентов mik не будет диагональной.
Таким образом, дифференциал dp можно интерпретировать как длину элемента
траектории в пространстве конфигураций с коор-
§ 7.5]
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
255
динатами qt, . . ., qn. В общем случае они не являются декартовыми, а
представляют координаты пространства, метрика которого опре-
равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей
траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют
силы, и поэтому Т постоянно, то будет постоянной и скорость движения этой
точки, из чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой
наименьшей длины, т. е. вдоль одной из геодезических ланий пространства
конфигураций.
Следует подчеркнуть, что в принципе наименьшего действия в форме Якоби
рассматривается траектория изображающей точки, а не закон её движения по
эгой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент
траектории do и не содержит времени t, так как Н= const, а V зависит
только от q{. Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби
можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки.
Это лучше всего сделать посредством введения какого-либо параметра,
например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет
записать в виде
где 6-указанный параметр (его не следует смешивать со временем t\ он
должен быть геометрической характеристикой, определяющей положение точки
на траектории). Если выбрать его так, чтобы он не изменялся при смещениях
точек траектории во время Д-вариации, то по отношению к нему Д-вариация
будет подобна 8-вариации. Тогда из уравнения (7.45) можно будет получить
дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа, определяющие траекторию
изображающей точки. Если производные ^ обозначить через <?', то эти
уравнения будут иметь вид
где F [qf, q\, 6, функция, стоящая под знаком интеграла (7.45).
Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение
которой определяется координатами qit то уравнения (7.46) будут
определять её траекторию в собственном смысле этого слова (а не
траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты qi
могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть
