Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
должны разработать специальную процедуру для перехода от одной системы
координат к другой, являющейся более подходящей.
Преобразования, с которыми мы встречались до сих пор, представляли
переход от старых координат к новым координатам Qj. Такие преобразования
выражались уравнениями вида
Такой вид имели, например, уравнения ортогонального преобразования или
уравнения перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем называть
такие преобразования точечными. Однако в методе Гамильтона импульсы
являются такими же независимыми переменными, как и обобщённые координаты.
Поэтому мы должны расширить понятие преобразования координат и включить в
него одновременное преобразование как независимых координат qit так и
независимых импульсов р^ Таким образом, мы будем иметь дело с
преобразованием, описываемым уравнениями:
(8.2)
Qi = Qi(.q> О-
(8.3)
Qi = Qdq> р> *), | Pi = pi (<?> p. *). j
(8.4)
§ 8.1]
УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
261
где Qj - новые координаты, а Р4 - новые импульсы. Следовательно, новые
координаты будут выражаться не только через старые координаты <7{, но и
через старые импульсы рх.
Желая сохранить структуру исходных уравнений движения, мы будем
интересоваться лишь такими преобразованиями, при которых новые переменные
Q, Р являются каноническими. Следовательно, мы требуем, чтобы новые
уравнения имели ту же форму, что и уравнения Гамильтона, т. е.
записывались в виде:
л. -^ р. = -дК (8.5)
дР{' % dQ{' 1 '
где К(Q, Р, 0 - некоторая функция новых переменных и времени, играющая
роль нового гамильтониана. Преобразования, удовлетворяющие этому
условию,, называются каноническими *).
Так как переменные Qj и Р{ должны быть каноническими, то
они должны удовлетворять принципу Гамильтона, записанному в этих
переменных, т. е. должны удовлетворять уравнению
^2
Р> t)\dt - §. (8.6)
В то же время старые переменные будут, конечно, удовлетворять принципу
ь § [2ilh4i - НЦ' Р> t)]dt~ 0. (8.7)
fj
Таким образом, равенства (8.6) и (8.7) будут удовлетворяться
одновременно. Отсюда не следует, конечно, что функции, стоящие в этих
равенствах под знаком интеграла, будут одинаковы, но следует, что они
могут отличаться не больше, чем на полную производную
*) Применяется также термин контактное преобразование. Иногда эти понятия
различаются, но разные авторы делают это по-разному. Некоторые из них
(например, А. Зоммерфельд в книге "Atomic Structure and Spectral Liness)
относят к контактным преобразованиям лишь такие, при которых время не
содержится явным образом в уравнениях преобразования [см. уравнения
(8.4)]. Другие же (возможно, более корректно) понимают под контактными
преобразованиями такие, при которых временная координата t
преобразовывается наряду с координатами д{ и импульсами pit как это
делается в ковариантной релятивистской теории. Физики, однако, склонны
рассматривать эти два понятия как тождественные, и мы здесь будем
следовать их примеру. О применении контактных преобразований в
проективной геометрии (где, как можно предполагать, и появился этот
термин) можно прочесть в уже упоминавшейся книге Зоммерфельда, а также у
Каратеодорн в книге " Variationsrechnung".
262
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. 8
по времени от какой-либо функции F. Действительно, интеграл от разности
рассматриваемых функций будет тогда равен
|' ^.dt = F(2) - F(\),
i,
и, какова бы ни была функция F, вариация его будет равна нулю, так как в
конечных точках интегрирования 8F обращается в нуль. Функция F называется
производящей функцией данного преобразования. Мы увидим, что, задавая
произвольно функцию F, мы однозначно определяем уравнения преобразования
(8.4).
Функция F, определяющая переход от старых канонических переменных к
новым, должна быть функцией как тех, так и других. Поэтому, кроме времени
t, она может содержать 4п переменных. Но так как старые и новые
переменные связаны 2п уравнениями преобразования (8.4), то независимыми
из них будут только 2п. Поэтому производящую функцию F можно записать в
одном из следующих четырёх видов:
Fi(q> Q- 0> р2(,я>.р' *)> Fi(P' Q' O' Fi(P' р'
Вопрос о том, какой из этих форм пользоваться, связан с конкретными
особенностями рассматриваемой задачи. Если, например, мы желаем
произвести точечное преобразование [определяемое уравнением (8.3)], то q
и Q не будут независимыми переменными, и поэтому производящие функции
типа Fx следует исключить.
Если мы исходим из функции вида Fv то функции, стоящие под знаками
интегралов (8.6) и (8.7), будут связаны соотношением
'%Piki - H='2iPiQi - K+±Fl{q, Q, t), (8.8)
где
г i
Но так как старые и новые координаты рассматриваются здесь как
независимые переменные, то равенство (8.8) будет иметь место только
тогда, когда коэффициенты при qi и- Qi будут в левой части этого
равенства такими же, как и в правой. Таким образом, в рассматриваемом
случае будем иметь:
дРх
§ 8.1]
УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
263
Уравнения (8.9а) представляют п соотношений, содержащих только Pi> Я4> Qi
