Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
ограничено связями, заставляющими её
деляется коэффициентами mik из равенства (7.41). Тогда У 2Т будет
Д j У Н - V
(7.45)
(7.46)
256
УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА
[ГЛ. 7]
двигаться не в трёх измерениях, а в двух, т. е. по некоторой поверхности.
Тогда её положение на этой поверхности будет определяться координатами и
q2, a dp будет, очевидно, пропорционально элементу длины её траектории.
Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на
поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на
точку не действуют никакие активные силы, её траекторией будет одна из
геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в
пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например,
сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является
геодезической линией сферы.
Число подобных вариационных принципов классической механики весьма
велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно
вытекает принцип Герца наименьшей кривизны. Согласно этому принципу
точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории
наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа
Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна
быть геодезическая линия, являющаяся, как известно, линией наименьшей
кривизны.
Мы уже говорили, что вариационные принципы не вносят в механику нового
физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной
механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат
отправными точками новых теоретических концепций в классической механике.
В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип
наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других
принципов, то они имеют заметно меньшее применение (если не считать
бессодержательных телеологических теорий, которые иногда строятся на их
основе). Поэтому рассмотрение этих принципов представляется нам
нецелесообразным.
Задачи
1. Напишите уравнения Гамильтона для двух материальных точек, сила
взаимодействия которых направлена по прямой, соединяющей эти точки.
Исключите циклические переменные и сведите задачу к квадратурам.
2. Вычислите гамильтониан системы, описанной в задаче 5 главы 5, и
получите для неё уравнения Гамильтона.
3. Вычислите гамильтониан тяжёлого симметричного волчка с одной
неподвижной точкой и напишите для него уравнения Гамильтона. Сравните их
с уравнениями движения, рассмотренными в § 5.7. Покажите, как свести
решение этой задачи к квадратурам.
4. Точка находится в инерциальной системе xyz и на неё действует
консервативная сила, зависящая только от г и г = Ух2 -f- у2. Вычислите её
гамильтониан, приняв в качестве обобщённых координат декартовы координаты
этой точки относительно системы, равномерно вращающейся вокруг
рекомендуемая литература
25?
оси г с угловой скоростью ш. Каков физический смысл этого гамильтониана?
Является ли он константой движения?
5. В задаче 4 главы 1 рассматривался электродинамический потенциал,
зависящий от скорости. Каков гамильтониан частицы, движущейся под
действием такого потенциала?
6- В главе 6 указывалось, что первый член ковариантного релятивистского
лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Другая
возможная форма лагранжиана получается, если преобразовать принцип
Гамильтона (6.48) (перейдя от времени t к местному времени г, являющемуся
инвариантом Лоренца) и использовать новую подынтегральную функцию в
качестве U. Получить таким путём выражение для ковариантного гамильтона
частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение
этого гамильтониана равно нулю. (При получении уравнений движения
значение гамильтониана, конечно, не существенно, так как пас интересует
только его функциональная зависимость от координат и импульсов.)
7. Показать, что если ковариантный лагранжиан получается по способу,
указанному в предыдущей задаче, то уравнение Гамнльтопа для сводится к
уравнению (7.19).
Рекомендуемая литература
P. S. Epstein, Textbook of Thermodynamics.
В §§ 33 и 34 этого учебника имеются примеры получения новых
термодинамических функций с помощью преобразования Лежандра.
Е. Т. Whittaker, Analytical Dynamics.
Вариационные принципы классической механики можно связать с вопросами,
которые на первый взгляд могут показаться далёкими от них. Например,
имеется тесная связь принципа Гамильтона с общей теорией дифференциальных
уравнений второго порядка в частных производных. Некоторые из таких
вопросов мы рассмотрим в следующих главах, однако среди них есть немало
таких, которые рассматривать в нашей книге нецелесообразно. К их
числу относится вопрос о том, является ли экстремум интеграла j L dt
максимумом или минимумом, а также вопросы, связанные с рассмотрением
многих разновидностей вариационных принципов. Читатель, интересующийся
такими вопросами, найдёт обширную литературу. В список литературы,
