Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
аналогичная ормула, в которой вместо коэффициента е/2 тс стоит
коэффициент elmc,
198
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 5]
Но это уравнение в точности совпадает с уравнением, описывающим изменение
вектора постоянной длины при его вращении вокруш вектора В с угловой
скоростью
". - g-с- <5'78>
Отсюда следует, что однородное магнитное поле заставляет равномерно
прецессировать вектор кинетического момента заряженного тела. Эта
прецессия совершается с угловой скоростью (5.78), известной как частота
Лармора (Larmor). Для электронов величина е отрицательна, и,
следовательно, прецессия вокруг вектора В происходит против часовой
стрелки.
Равномерная прецессия заряженного тела, находящегося в магнитном поле,
постоянно встречается в атомной физике. Обычно она известна как прецессия
Лармора. Следует заметить, что мы не требовали, чтобы рассматриваемое
тело было твёрдым, так как уравнение (1.24) справедливо для тела любой
природы, а интеграл
(5.75) является кинетическим моментом относительно какой-либо точки
произвольной системы, центр масс которой находится в покое. Поэтому
вектор кинетического момента любой системы заряженных частиц, находящихся
в однородном магнитном поле, будет прецессировать согласно формуле
(5.78). Единственным существенным требованием здесь является то, что все
эти частицы должны иметь одинаковое отношение заряда к массе *).
Задачи
1. Исследовать изменение тензора инерции при смещении точки, относительно
которой он рассматривается, на величину, определяемую вектором гп.
Показать, что если эта точка является центром масс, а г0 направлено вдоль
одной из главных осей, то направление главных осей при таком смещении не
изменяется. Как изменяются при таком смещении моменты инерции?
2. Однородная пластина имеет форму равнобедренного прямоугольного
треугольника. Вычислить моменты инерции этой пластины относительно
главных осей, проходящих через её центр масс. Как направлены эти оси?
3. Три частицы равной массы расположены в точках с координатами (а, 0,
0), (0, а, 2а) и (0, 2а, а). Найти моменты инерции относительно главных
осей, проходящих через начало координат. Как направлены эти оси?
4. Физический маятник представляет собой тонкую пластину, качающуюся в
вертикальной плоскости вокруг оси, не проходящей через её центр тяжести.
Вычислить период малых колебаний этой пластины, выразив его через радиус
инерции относительно центра тяжести и расстояние от центра
*) Заметим, что рассмотренная здесь прецессия относится к вектору
кинетического момента, а не к оси тела. Движение последней можно
рассмотреть тем же методом, какой применялся в случае тяжёлого волчка.
Нутация оси тела здесь также будет иметь место, но в отличие от случая
гравитационного поля она не будет изменять кинетической энергии тела, так
как однородное магнитное поле не может совершить работу над системой (см.
задачу 16)
ЗАДАЧИ
199
тяжести до оси вращения. Показать, что если для двух осей вращения,
отстоящих на разных расстояниях от центра тяжести, период колебаний будет
одинаковым, то сумма этих расстояний будет равна длине математического
маятника, имеющего тот же период колебаний.
5. Однородный стержень массы М и длины 21 шарнирно прикреплён одним из
своих концов к пружине, жёсткость которой равна k. Стержень имеет
возможность качаться только в вертикальной плоскости, а пружина может
двигаться только в вертикальном направлении. Составить уравнения Лагранжа
для этой системы.
6. Однородный стержень скользит концами по гладкой вертикальной
окружности. Показать, что если дуга, стягиваемая этим стержнем, равна
120°, то длина эквивалентного математического маятника будет равна
радиусу этой окружности.
7. Автомобиль трогается с места с открытой на 90° дверью кабины. Так как
петли этой двери расположены в её передней части, то, когда автомобиль
начнёт набирать скорость, она захлопнется. Вывести формулу, определяющую
время, через которое дверь захлопнется, если ускорение автомобиля
постоянно и равно /, радиус инерции двери относительно её оси вращения
равен г0, а центр масс двери отстоит от оси её вращения на расстоянии а.
Показать, что если /=0,3 м/сен?, а дверь представляет однородный
четырёхугольник шириной 1,2 м, то это время будет равно приблизительно 3
сек.
8. Колесо катится вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом
угол а. Получить решение для случая двумерного движения этого колеса,
пользуясь уравнением Лагранжа и методом неопределённых множителей.
9. (а) Показать, что если на симметричный волчок не действуют внешние
силы, то в системе координат, связанной с этим волчком, вектор его
кинетического момента вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью
Q. Показать также, что в неподвижном пространстве ось симметрии волчка
вращается вокруг неподвижного вектора кинетического момента с угловой
скоростью
где 'у - угол Эйлера, определяющий положение линии узлов в системе, в
которой кинетический момент направлен по неподвижной оси z.
