Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
ИЛИ
;(0) =
1 (ZZ'e^Y
4 I 2 Е )
о в
s ТГ
.(3.68)
Рис. 33. Траектория частицы при рассеянии под действием отталкивающей
силы Кулона. Из рисунка видна связь угла рассеяния с углом между
асимптотами.
Этот результат совпадает с тем, который был в своё время получен
Рёзерфордом для рассеяния а-частиц атомным ядром. Квантовая механика (без
учёта релятивистских эффектов) приводит к тому же результату.
В атомной физике играет важную роль так называемое полное поперечное
сечение рассеяния, равное
j' a (Q) dQ = 2т, J а (0) sin 0 d0.
Однако если мы попытаемся вычислить его, подставляя в этот интеграл
значения а(0)из выражения (3.68), то получим бесконечность. Физическую
причину этого нетрудно установить. Согласно определению полного
поперечного сечения рассеяния оно равно числу частиц потока единичной
плотности, рассеиваемых по всем направлениям в единицу времени. Но
электростатические силы являются силами дальнодействия, и поэтому
область, в которой они себя
100
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
проявляют, простирается до бесконечности. Вследствие этого очень малые
значения 0 будут лишь у тех частиц, у которых очень велико s.
Следовательно, все частицы потока, имеющего бесконечно большое поперечное
сеченне, будут в той или иной степени рассеиваться кулоновской силой.
Именно поэтому полное поперечное сечение рассеяния получается в этом
случае бесконечным. Из сказанного следует, что бесконечное значение at
свойственно не только полю сил Кулона, так как при классическом методе
исследования этот результат будет иметь место всегда, когда рассеивающее
поле отлично от нуля на всех конечных расстояниях (как бы велики они ни
были)*). Поэтому только в случае поля ограниченной протяжённости, т. е.
такого, в котором, начиная с некоторого расстояния, силы становятся
равными нулю, полное поперечное сечение рассеяния будет конечным.
Практически это имеет место в электростатическом поле атомного ядра и
окружающих его электронов, которые "экранируют" ядро и эффективно
компенсируют его заряд на больших расстояниях.
§ 3.8. Приведение задачи о рассеянии к лабораторной системе
координат. В предыдущем параграфе мы рассматривали рассеяние частиц в
поле неподвижного заряда, т. е. изучали движение одной точки. На
практике, однако, в этом процессе всегда участвуют два взаимодействующих
тела, например в опыте Резерфорда мы имеем а-частицу и атомное ядро. При
этом вторая частица не является неподвижной, а перемещается в результате
взаимодействия с первой. Но мы знаем, что задачу о движении двух тел,
находящихся под действием центральной силы взаимного притяжения или
отталкивания, можно свести к задаче о движении одного тела. Поэтому может
показаться, что единственная поправка, которую нам надлежит сделать,
состоит в замене массы т на приведённую массу р.. Однако в
действительности вопрос этот не так прост. Дело в том, что измеряемый в
лабораторных условиях угол рассеяния (мы обозначим его через Я) есть угол
между конечным и начальным направлениями движения частицы **). В то же
время угол 0, вычисляемый по формулам соответствующей задачи для одного
тела, есть угол между конечным и начальным направлением вектора,
соединяющего две взаимодействующие частицы. Эти два угла будут
одинаковыми только в том случае, когда в течение всего времени рассеяния
вто-
*) Величина з* получается бесконечной и в случае применения к
рассматриваемому полю методов квантовой механики, так как формула (3.68)
остаётся здесь справедливой. Однако кулоновское поле, созданное
неподвижным зарядом, является в этом отношении несколько аномальным.
Оказывается, что все силы, убывающие с расстоянием быстрее, чем сила
Кулона, приводят в квантовой механике к конечному значению ct.
**) Угол рассеяния & не следует смешивать с угловой координатой б
относительного вектора г, соединяющего две частицы.
§ 3.8]
ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАССЕЯНИИ
101
рая частица остаётся неподвижной. В общем случае, однако, она находится в
покое лишь в начале процесса рассеяния, а затем начинает участвовать в
движении этой системы, которое совершается под влиянием сил
взаимодействия данных частиц. Из рис. 34 видно, что эти углы будут иметь
тогда различные значения. Эквивалентная задача о движении одного тела не
даёт, таким образом, того угла рассеяния, который непосредственно
измеряется в лабораторной системе координат.
Однако в системе координат, движущейся вместе с центром масс
рассматриваемых частиц, положение будет совершенно иным. В этой системе
общее количество движения взаимодействующих частиц будет, конечно, равно
нулю, т- е. эти частицы будут иметь равные, но противоположно
направленные количества движения. На рис. 35 показана картина рассеяния,
представляющаяся наблюдателю, движущемуся вместе с центром масс системы.
До рассеяния эти частицы движутся навстречу друг к другу,
а после рассеяния-друг от друга. Поэтому угол В между начальным и
конечным направлением относительного вектора должен быть таким же, как
