Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
~ = mrh2. г2
Это условие выражает тот факт, что сила притяжения уравновешивается
центробежной силой, как и было установлено ранее в § 3.3.
Можно показать, что если орбита является эллиптической, то большая
полуось зависит только от её энергии, что представляет теорему, имеющую
существенное значение в теории атома Бора. Докажем это. Большая полуось
равна полусумме апсидальных расстояний rt и г2 (рис. 24) и согласно
(3.47) равна
а ri гг - 1_____I__________________1 . И б П
2 2С (1 -f г) 2С (1 - е) С 1 - е3 ' ^ ;
после подстановки постоянных орбиты из формулы (3.46) выражение для
большой полуоси принимает вид
а = (3.52)
что, как легко видеть, согласуется с формулой (3.50) для радиуса круговых
орбит.
В качестве последнего вопроса, относящегося к силам, обратно
пропорциональным квадрату расстояния, мы рассмотрим задачу о вычислении
периода движения по эллиптической орбите. Мы знаем, что из постоянства
кинетического момента следует постоянство секто-риальной скорости, равной
= <3-53>
Отсюда можно найти площадь орбиты А, интегрируя (3.53) за полный период
т:
-С
dJt dt = А = ~ .
dt 2 т
о
Но площадь эллипса равна
А - каЬ,
причём большая полуось а определяется равенством (3.52), а малая полуось
b выражается через а (по известной формуле для эксцентриситета) следующим
образом:
Ь - aY 1 -(r)2-
Из формулы (3.51) видно, что малая полуось равна
§ 3.61
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
95
и период движения получается равным
(3.54)
Равенство (3.54) показывает, что при заданных k и т квадрат периода
пропорционален кубу большой оси. Это положение часто называют третьим
законом Кеплера *). Следует, впрочем, заметить, что в действительности
третий закон Кеплера формулируется несколько иначе, так как он относится
к специальному случаю движения, который рассматривал Кеплер,- к движению
планет в гравитационном поле Солнца. В более точной формулировке этот
закон гласит: квадраты периодов обращения различных планет
пропорциональны кубам больших осей их орбит. Нужно заметить, что в этой
форме закон Кеплера верен лишь приближённо. Следует помнить, что задача о
движении планет вокруг Солнца является задачей о движении двух тел, и
поэтому величину т в (3.54) нужно заменить на приведённую массу р, равную
Массу т1 в этой формуле можно считать относящейся к планете, а массу т.г
- к Солнцу. Кроме того, константу k мы должны заменить на
Таким образом, если пренебречь массой планеты по сравнению с массой
Солнца, то мы получим равенство (3.56), выражающее третий закон Кеплера.
Действительно, согласно этому равенству т пропорционально а'М причём
коэффициент пропорциональности одинаков для всех планет. Но масса планеты
гне всегда 'является
*) Три закона Кеплера были установлены им приблизительно в 1610 г. Они
явились результатом исследований, проведённых им над движением планет, и
послужили основой для последующих работ Ньютона. Второй закон Кеплера
утверждает, что секториальная скорость планеты является постоянной. Как
отмечалось ранее, он справедлив для^ любой центральной силы. Однако
первый закон Кеплера (о том, что каждая планета движется по эллипсу, в
одном из фокусов которого находится Солнце) и его третий закон
справедливы только для тех центральных сил, которые изменяются обратно
пропорционально квадрату расегояния.
тхт2
т + щ
k = Onixm2, что следует из закона всемирного тяготения
Q mimi
(3.55)
Тогда равенство (3.54) примет вид:
2тia^ 2тт а^'
(3.56)
Y о {тх 4- т2) YОт2
96
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
пренебрежимо малой величиной по сравнению с массой Солнца. Например,
масса Юпитера составляет приблизительно 5% от массы Солнца. С другой
стороны, третий закон Кеплера будет строго верен для орбит электронов в
атоме Бора, так как р, и k одинаковы при этом для всех орбит данного
атома.
§ 3.7. Рассеяние частиц в поле центральной силы. Исторически интерес к
центральным силам возник из астрономических задач о движении планет.
Однако нет оснований считать, что интерес к этим силам ограничивается
лишь задачами такого рода. Мы уже указывали на другой пример применения
теории центральных сил - задачу о движении электрона в атоме Бора. Мы
сейчас рассмотрим ещё одну задачу о центральных силах, допускающую
решение с позиций классической механики. Это - задача о рассеянии частиц
в поле центральной силы. Конечно, если эти частицы имеют масштабы атома,
то следует ожидать, что некоторые результаты классического исследования
будут часто физически неправильными, так как квантовые эффекты в этих
случаях обычно значительны. Тем не менее, имеется много классических
положений, которые остаются верными и здесь и поэтому могут служить в
качестве достаточно хорошего приближения.
Проблема рассеяния касается отклонения частиц под действием центральной
силы. Мы рассмотрим однородный пучок частиц, например, электронов или а-
частиц, обладающих одинаковой массой и одинаковым законом изменения
энергии V в зависимости от расстояния г до центра силы. Силу эту мы будем
