Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
предполагать стремящейся к нулю при г->оо. Поток частиц мы будем
характеризовать его интенсивностью I (эту величину называют также
плотностью потока), которая равна числу частиц, проходящих через
единичное поперечное сечение потока в единицу времени. По мере
приближения частицы к центру силы она будет притягиваться им либо
отталкиваться и траектория её будет отклоняться от начальной прямой
линии. Затем частица станет удаляться от этого центра, и действующая на
неё сила в конце концов уменьшится настолько, что траекторию можно будет
опять считать прямолинейной. В общем случае конечное направление её
движения не будет совпадать с начальным, т. е. будет иметь место
некоторое отклонение. Поперечным сечением рассеяния в данном направлении
мы будем называть величину a(Q), определяемую равенством
o(Q)dQ =
число частиц, проходящих через телесный угол dQ, за единицу времени
плотность потока ,0
(3.57)
где dQ -элементарный телесный угол в направлении Q. Величину a(Q) часто
называют также дифференциальным поперечным сечением рассеяния. В случае
поля центральной силы должна
§ 3.7]
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
97
быть полная симметрия относительно оси потока, и поэтому элементарный
угол dQ может быть записан в виде
dQ = 2тг sin PidQ, (3.58)
где 0-угол между конечным и начальным направлениями движения, известный
как угол рассеяния. Заметим, что термин "поперечное сечение"
оправдывается тем, что a(Q) имеет размерность площади.
Константы траектории каждой частицы, а следовательно, и угол Q
определяются энергией и кинетическим моментом этой частицы. Последний
удобно выражать через энергию и так называемый
Рис. 31. Рассеяние пучка элементарных частиц под действием центральной
силы.
параметр соударения s, равный расстоянию от центра силы до прямой, по
которой начинает своё движение рассматриваемая частица. Если начальную
скорость этой частицы обозначить через v0, то будем иметь:
I = mv0s = s~\f 2тЕ. (3.59)
Величины Е и s однозначно определяют угол 0 *). Поэтому число частиц,
рассеиваемых в телесном угле dQ, заключённом между 0 и 0-f-dQ, должно
равняться числу частиц, для которых параметр s лежит в пределах между s и
s-{-ds (значения параметра s, соответствующие углам 0 и 0-(-rf0). Таким
образом, будем иметь:
2nlsds = - 2тсо (0)/sin (0) dQ. (3.60)
(Знак минус в правой части этого равенства объясняется тем, что при
увеличении параметра s на частицу действует меньшая сила, в результате
чего происходит уменьшение угла 0.) Если s рассма-
*) В этом пункте классическая механика расходится с квантовой. Суще-
ственная особенность квантовой механики состоит в том, что в ней нельзя
вполне определить траекторию какой-либо конкретной точки. В квантовой
механике можно говорить лишь о вероятности рассеяния в том или ином
направлении.
98
ПРОБЛЕМА ДВУХ ТЕЛ
[гл. 3
тривать как функцию энергии Е и соответствующего угла 0, то можно будет
написать:
s = s(0, Е), (3.61)
и тогда функция о(0) будет определяться равенством
s ds
Г(0):
sin 0 dS
(3.62)
В качестве иллюстрации рассмотрим важную в историческом отношении задачу
о рассеянии заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда
(поле Кулона). Допустим, что величина этого заряда равна -Ze, а заряд
каждой летящей частицы равен - Z'e. Тогда сила / будет равна
, _ ZZ'e*
J гг >
т. е. будет силой отталкивания, изменяющейся обратно пропорционально
квадрату расстояния. Поэтому мы можем воспользоваться результатами
предыдущего параграфа, положив
? = -ZZ'e2.
Уравнение орбиты (3.46) принимает вид: 1 mZZ'eз
г - П
где s равно
¦ (1 -j- s cos 0),
У
1
2 ЕР
(3.63)
(3.64)
(3.65)
т (ZZ'e2)2"
а Ь' мы считаем равным нулю, чего всегда можно добиться соответствующим
поворотом полярной оси. Уравнение (3.64), как и уравнение (3.46),
определяет коническое сечение, а именно гиперболу, так как s> 1. Однако в
правой части этого уравнения стоит знак минус и, следовательно,
допустимыми значениями 6 являются лишь те, для которых
cos 0 <-У (3.66)
OOS 0
\ ! \ 1 \ 1 V | / \/ f
\ .
(рис. 32). Отсюда следует, что центр силы находится в данном случае во
внешнем фокусе гиперболы (рис. 33), а не во внутреннем, как было в случае
силы притяжения (см. рис. 23).
Изменение угла 6 в случае, когда частица приходит из бесконечности и,
отклонившись от первоначального направления, вновь уходит в
бесконечность, почти равно углу Ф между асимптотами,
Рис. 32. Область изменения 0 для рассеяния под действием отталкивающей
силы Кулона.
§ 3-7]
РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ 1! ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ
99
который в свою очередь является дополнением угла 0 до 180е Поэтому на
основании равенства (3.66) и рис. 32 будем иметь:
cos -
Sill -pr = -
или
откуда
ctg2
:cosec^
.,0
Clg-
2Es ZZ'e'i '
Теперь мы легко можем найти функцию з (0) (3.67) параметр s через Е и 0,
получим:
ZZ'e2 , 0 5 ~ ~2Ё С ^ ~2 '
и тогда с помощью (3.62) найдём:
. 0
1 /ZZ'e"V g 2
2 Г
(3.67)
Выразив с помощью
а (в)
2 Е
