Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
фронта волны и, исходя из этого представления, говорили о скорости её
распространения. Однако мы совершенно не рассматривали вопроса о природе
этих волн и поэтому ничего не можем сказать о таких важных понятиях, как
частота или длина волны. Чтобы пролить свет на эти вопросы, мы начнём с
рассмотрения хорошо известного волнового процесса, а именно движения
световых волн.
Уравнение, описывающее распространение световой волны, имеет
вид
V2?-JSr = 0' <9'87)
*) Движение поверхностей S в пространстве конфигураций рассмотрено в
книге L. Brilloiiin, Les Tenseurs en Mecanique et en RIastlcite, гл.
VIII-
§ 9.8] ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА 333
где ср - скалярная величина, такая, например, как скалярный
электромагнитный потенциал. Величина с означает здесь скорость света в
пустоте, а п - коэффициент преломления, равный отношению с к скорости
света в данной среде. В общем случае коэффициент п является некоторой
функцией х, у, z. Если п постоянно, то одним из решений уравнения (9.87)
является функция
ср = ср0е* <*•"•-"*), (9.88)
описывающая распространение плоской волны. Волновое число k и частота ш
связаны при этом соотношением
k = = (9.89)
Направляя для простоты k вдоль оси z, будем иметь:
ср = сp^Mnz-ct), (9.90)
где k0 - волновое число в пустоте.
Пусть теперь п будет изменяться с изменением х, у, 2. Тогда плоская волна
(9.90) уже не будет удовлетворять уравнению (9.87), так как коэффициент
преломления будет неодинаковым, что приведёт к искажению формы этой
волны. Мы, однако, будем считать, что п не сильно изменяется от точки к
точке, и решение уравнения (9.87) будем искать в виде
cp==eA(r)+i*o[?M-ci]> (9.91)
подобном (9.90). Величины А и L являются здесь вещественными функциями г,
подлежащими определению. Первая из них характеризует амплитуду волны.
Если бы п было постоянно, то L равнялось бы nz и называлось бы оптической
длиной траектории или фазой волны. Часто её называют ещё эйконалом.
Вычисляя теперь Vtp и V2cp, будем иметь:
Vcp tpV (A -j- //2qZ.)
и
v-2<p = (r) [v2(,4+вд + {v (д+ад)2]
или
V?cp = ср [V2M -f tk0V2L + (VM)2 - kl (yLf+2ik^A . VLJ, и волновое
уравнение примет вид
ik0[2VA ¦ VL-f-V2L]cp+[V2M+(VM)2 - /г2(VL)2 +я2/г2] (r) == 0. (9.92)
Но так как А и L являются вещественными, то для выполнения этого
равенства необходимо, чтобы каждая из квадратных скобок
334
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
(гл. 9
была равна нулю. Таким образом, мы приходим к двум следующим уравнениям:
Так как мы не делали ещё никаких приближений, то эти уравнения являются
точными. Теперь мы сделаем предположение, что коэффициент п столь
медленно изменяется с расстоянием, что на расстояниях порядка длины волны
этим изменением можно пренебречь. Иначе говоря, это означает, что длина
волны мала по сравнению с величиной расстояния, на котором проявляется
неоднородность среды. Как известно, это предположение составляет основу
геометрической оптики. Если принять указанное предположение, то член,
содержащий &о = 4тг2До, будет доминирующим членом уравнения (9.93а), и
это уравнение примет следующий простой вид:
Полученное нами уравнение известно в геометрической оптике как уравнение
эйконала. Определяемые им поверхности L - const являются поверхностями
постоянной фазы и, следовательно, определяют фронт волны. Все световые
лучи будут перпендикулярны к этим поверхностям и, следовательно, тоже
будут определяться уравнением (9.94).
Дальше нам нет необходимости углубляться в подробности геометрической
оптики, так как мы видим, что уравнение (9.94) подобно уравнению (9.83),
являющемуся уравнением Гамильтона - Якоби для характеристической функции
W. Таким образом, мы имеем аналогию, в которой W играет роль эйконала L,
а [2т (Е - V)]1"-коэффициента преломления п. Поэтому классическую
механику можно рассматривать как аналог геометрической оптики, в котором
роль поверхностей движущейся волны и ортогональных к ним световых лучей
играют поверхности S = const и ортогональные к ним траектории движения.
Отсюда ясно, почему волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория
Ньютона одинаково хорошо объясняли явления отражения и преломления: в
рамках геометрической оптики между этими теориями имеется формальная
аналогия.
Мы уже отмечали, что принцип наименьшего действия имеет сходство с
принципом Ферма в геометрической оптике. Теперь это сходство становится
понятным. Согласно (7.40) принцип наименьшего действия можно записать в
виде
У A + (VA f + kl [п2 - (VZ.)2] = 0, V2L + 2VH • VL = 0.
(9.93а)
(9.93b)
(VZ.)2 = re2.
(9.94)
а мы знаем, что корень У2тТ пропорционален коэффициенту преломления или
обратно пропорционален скорости волны в соответ-
§ 9.8]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
335
ствующем волновом движении. Следовательно, аналог принципа наименьшего
действия должен иметь вид
Д | nds = k | tr = °- (9.95)
что представляет два хорошо известных варианта принципа Ферма для пути
светового луча.
Мы ещё не нашли тех величин, которые играют в классической механике роль
