Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
волновой механики можно увидеть в связи метода Гамильтона - Якоби с
геометрической оптикой. К рассмотрению этой связи мы сейчас и перейдём.
§ 9.8. Геометрическая оптика и волновая механика. Мы будем рассматривать
только такие системы, гамильтониан которых является полной энергией.
Тогда между функциями S и W будет иметь место соотношение
S(q, Р, t) - W(q, Р) - Et. (9.78)
Так как характеристическая функция W не зависит от t, то поверхности W =
const в пространстве конфигураций занимают фиксированные положения. Что
касается поверхностей S = const, то в любой момент t каждая такая
поверхность совпадает с некоторой поверхностью W - const. Однако значение
W, соответствующее заданному значению S, будет изменяться со временем в
соответствии с равенством (9.78). Рассмотрим, например, поверхности S = а
( , и S = b. В момент ? = 0 они будут со-
J I \ впадать с поверхностями W - а и W = b
seoj=aS(dtJ~Qs/oj = b s/dV = b (рис. 66). Однако спустя некоторое вре-""
" мя dt поверхность X = а будет совпа-
Рис. 66. Движение поверх- поверхностью W - п -4- F dt
ностей 5 = const в про- Дать с поверхностью w a-\~cat,
странстве конфигураций. а поверхность S - b - с поверхностью
W = b -f- Е dt. Следовательно, за время dt поверхность S = а переходит из
положения W = а в положение W - а-\- Е dt. Таким образом, движение
поверхности S~a подобно распространению фронта некоторой волны, например,
волны давления. Это позволяет рассматривать её как фронт волны,
распространяющейся в пространстве конфигураций.
В общем случае каждая поверхность S = const изменяет свою форму при
возрастании t. Следовательно, скорость волны, т. е. скорость, с которой
движется такая поверхность, будет в разных её точках различной. Вычислим
эту скорость в простейшем случае, когда рассматриваемая система состоит
всего из одной точки.
§ 9.8]
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
331
В качестве обобщённых координат этой точки мы возьмём её декартовы
координаты, и тогда пространство конфигураций будет тем трёхмерным
пространством, в котором движется точка. Скорость волны в некоторой точке
поверхности S = const равна
" = §. (9.79)
где ds- расстояние, которое волна проходит за время dt в направлении,
перпендикулярном к S. Но за время dt фронт волны переходит от
поверхности W к поверхности W-\~dW, где dW-Edt.
Кроме того, dW связано с ds соотношением
dW = \VW\ds. (9.80)
Поэтому
а=Ж = 1ШТ- <9-81)
Для вычисления | VW] следует обратиться к уравнению Гамильтона - Якоби,
согласно которому
1 Г/dUna , fdWV , /dW\*]
2т]\дх) Uy / \ dz j
или
( V W)2 = 2m (E - V). (9.83)
Следовательно, скорость волны равна
Е
Е, (9.82)
и -
У2m (Е - V) '
(9.84)
и так как разность Е - V равна кинетической энергии Т, то формулу (9.84)
можно записать в виде
и-уЬ- <9-85>
Учитывая теперь, что рассматриваемая система состоит из одной точки,
будем иметь:
2 mT = m2v2 - р2,
и поэтому
" = - = -. (9.850
р mv 4 '
Равенство (9.850 показывает, что скорость поверхности S = const обратно
пропорциональна скорости точки, движение которой опш сывается с помощью
S. Кроме того, легко показать, что траектория этой точки обязательно
должна быть нормальной к поверхностям S = const. Это следует из того, что
направление траектории определяется направлением вектора p = mv. Но
согласно (9.21)
p = VW, (9.86)
332
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
[гл. 9
а вектор VW перпендикулярен к поверхности W- const, т. е. к поверхности S
=const. Таким образом, семейство поверхностей W - const определяет
систему траекторий возможного движения, так как они нормальны к
поверхностям этого семейства. Когда точка движется вдоль одной из
возможных траекторий, поверхности 5 тоже движутся, но эти движения
оказываются не "синхронными", так как при увеличении скорости v скорость
и уменьшается и наоборот.
Проведённые рассуждения относились к системе, состоящей из одной точки.
Однако большая часть полученных нами результатов будет иметь место и для
системы, состоящей из многих точек, но метрику пространства конфигураций
нужно будет определять тогда формулой
dp2 = 2Tdt2,
где dp - элемент длины [см. уравнение (7.42)]. Вместо истинной траектории
точки мы будем рассматривать траекторию изображающей точки в пространстве
конфигураций, а скорость поверхности S будет определяться равенством *)
и = --- - = (9.840
У 2 (E-V) УУТ
подобным равенству (9.84). Следует напомнить, что скорость изображающей
точки пропорциональйа YТ (см. § 7.5). Поэтому между скоростью волны и
скоростью изображающей точки здесь будет иметь место соотношение,
подобное ранее полученному, а возможные траектории изображающей точки
будут, по-прежнему, нормальны к поверхностям 5 = const. Следовательно,
переход к системам из многих точек не приносит каких-либо новых
физических результатов, и для упрощения математической стороны вопроса мы
и в дальнейшем будем рассматривать движение одной точки.
Поверхности 5 = const мы рассматривали как последовательные состояния
