Классическая механика - Голдстейн Г.
Скачать (прямая ссылка):
осциллятора с несколькими степенями свободы.) Рассмотрим, например,
колебания точки, находящейся под действием восстанавливающих сил,
направленных вдоль осей х vi у. Эти координаты являются разделяющимися
переменными, изменяющимися по гармоническому закону с частотами чх и чу.
Повернём теперь систему координат на 45° вокруг оси z. Тогда мы получим
новые координаты х', у', изменяющиеся по закону
= ~4у К cos 2тг (yj + ,3,)+ у0 cos 2it {4yt -+- ?*)], \
. I (9.50)
/ = yj (То cos 2п (yyt 'iy) - х0 cos 2х (yxt + jBJ]. j
Если v^/v есть число рациональное, то написанные функции будут
периодическими, а траектория точки будет замкнутой фигурой Лиссажу. Но
если числа \х и v несоизмеримы, то получающаяся фигура не будет
замкнутой, и движение не будет строго повторяющимся. Уравнения (9.50)
будут в этом случае простейшими частными случаями уравнения (9.49).
Почти-периодическую функцию можно получить с помощью производящей функции
W. Равенство (9.35) показывает, что когда qt совершает полный цикл
изменения, т. е. когда изменяется на единицу, характеристическая функция
увеличивается на У4. Отсюда следует, что если одна из величин wk
увеличивается на единицу, а остальные не меняются, то функция
W' = W - %wkJk (9.51)
к
также остаётся неизменной. Поэтому функция (9.51) является
многопериодической и может быть разложена в ряд вида (9.48) (по wt) или
вида (9.49) (по v4). Так как согласно уравнениям преобразования
dW к djk
то легко видеть, что равенство (9.51) определяет преобразование Лежандра,
осуществляющее переход от переменных q, J к переменным q, w. Сравнение с
равенством (8.10) показывает, что W'(q, w) есть производящая функция типа
Fl (q, Q), осуществляющая переход от канонических переменных q, р к
каноническим переменным w, J.
§ 9.6] ДРУГИЕ СВОЙСТВА ПЕРЕМЕННЫХ ДЕЙСТВИЕ УГОЛ 319
Функция w', конечно, не является решением уравнения Гамильтона-Якоби *),
хотя она осуществляет такое же преобразование, как функция W.
Для того чтобы конфигурация системы не изменялась строго периодическим
образом, частоты движения должны быть несоизмеримыми. В противном случае
конфигурация системы будет через достаточно большой промежуток времени
повторяться. Формальным признаком соизмеримости всех частот является
существование п - 1 соотношений вида
= 0, (9.52)
;=1
где ji - целые числа. Эти уравнения позволяют представить любое щ в виде
рациональной части любого другого Если система такова, что можно
составить лишь т соотношений вида (9.52), то говорят, что она является т-
кратно вырождающейся. Если, в частности, т-п-1, то её называют полностью
вырождающейся (движение системы будет в этом случае чисто периодическим).
Следовательно, в случае замкнутой траектории изображающей точки движение
системы является полностью вырождающимся **).
*) Переменные действие - угол мы ввели на основании рассмотрения
разделяющихся координат, изменяющихся по периодическому закону, а затем
показали, что движение системы является в общем случае много-
периодическим. Следует заметить, что можно было бы проделать это в об
ратном порядке, т. е. начать с того факта, что движение системы является
многопериодическим, а затем ввести переменные действие - угол. При этом
нужно потребовать, чтобы конфигурация системы и производящая функция W'
(q, w) были много-периодическими относительно переменных w с периодом,
равным единице, а гамильтониан был циклическим относительно всех
переменных w. Таким путём можно было бы избежать необходимости обращаться
к разделяющимся координатам. Более подробно об этом см. В о г n, The
iWechanics of the Atom, § 15.
**) Существует интересная связь между вырождением системы и возможностью
разделения переменных в уравнении Гамильтона-'Якоби. Можно показать, что
в случае невырождающейся системы траектория изображающей точки целиком
заполняет некоторую ограниченную область фазового пространства (рэвно,
как и пространства конфигураций; см. Приложение 1 к уже цитированной
книге Борна). Но мы знаем, что разделяющиеся координаты изменяются
независимо друг от друга по строго периодическим законам. Следовательно,
траектория изображающей точки должна быть ограничена поверхностями q{ -
const, Р{= const, которые определяют границы изменения q{ и р{. (Эти
соображения легко распространить и на случай вращательного движения, для
чего нужно ограничить изменения углов интервалом от нуля до 2тс.) Эти
поверхности определяют объём пространства, всюду плотно заполненный
траекторией изображающей точки, откуда следует, что в невырождающихся
системах можно лишь единственным образом произвести разделение
переменных. Это значит, что в этом случае нельзя выбрать две различные
системы координат, допускающие разделение переменных в уравнении
Гамильтона-Якоби (не считая тривиальных вариантов, таких, например, как
изменение масштаба). Поэтому наличие двух таких систем обобщённых
координат ясно указывает на вырождение данной механической системы.
МЕТОД ГАМИЛЬТОНА ЯКОБИ
