Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривая кубы, содержащие но 64 ячейки Эвьена.
*3.10. При вычислении постоянной Мадслунгв по методу Эвьена можно
избежать неопределенностей типа описанных в задаче 3.9, если выбрать
ячейки Эвьена так, чтобы на гранях не было никаких зарядов.
Найти гакую ячейку, содержащую "половину" молекулы в структуре CsCl.
Вычислить последовательные приближения постоянной Маделунга для CsCl,
суммируя по ионам в концентрических ромбододекаэдрах, содержащих 4, 32
или 108 ячеек Эвьена.
*3.11. Чтобы вычислить потенциал V нона в присутствии всех других ионов
кристалла, Эвальд предложил следующий метод, который приводит к быстро
сходящимся ридам.
К точечному заряду qj на месте каждого /-го иона, не совпадающего с
фиксированным i-м ионом, добавляется гауссово распределение заряда
(гауссовы заряды)
I', (0 = - Я/ (ц/*)3/2 ехр (- т|лг) (3.11.1)
с общим зарядом - q/, ц - подгоночный параметр, определяющий ширину
гауссова раецределення. Вклады от точечных и гауссовых зарядов во всех
местах, где )Ф1,
qi |^7 " V jj р w ^ " S* ^T~dr
приводят к потенциалу
V = 2^([- jj ехр(-s") dsj (3.11.2)
Далее с помощью разложения п ряд Фурье можно легко получить потенциал V'
на i-м месте, обусловленный второй совокупностью гауссовых зарядов +q, на
всех месгоположенннх ионов:
(-"*¦'¦;) JrEexpf- (3.1 1.3)
17
Таблица 3.15.1
Координаты Масса Заряд
Ядро Яа(Ха, Ya, га) ма Zae
(о=1, 2 N)
Электрон г к (¦**• Ук, **) т - е
(fe=l, 2 п)
3.16. Для описания движения электронов в системе, состоящей из N ядер и п
электронов, можно, оставаясь в пределах достаточно хорошего приближения,
считать, что ядра находятся в покое, потому что их массы намного больше
масс электронов.
Записать уравнение Шредингера для системы из N неподвижных ядер и п
электронов. При этом использовать атомные единицы, т. е. считать
численные значения элементарного заряда е, массы электрона т и постоянной
Планка ft = Л/2я равными единице.
*3.17. Несмотря на то, что собственное значение Шэп в уравнении
Шредингера для движения электрона (см. уравнение
(3.16.1)) включает в себя межъядерное отталкивание
V z"z<^ L. ] Rb-Ra I ' fl< b
его обычно называют "энергией электрона". В него входят как параметры
межъядерные расстояния, и оно играет роль потенциальной энергии в
уравнении Шредингера для движения ядер. Если предположить, что центр масс
двухатомной молекулы неподвижен, то уравнение Шредингера, описывающее
движение двух ее ядер А и В, будет иметь вид
~ А + ?*"(/?) j УД'Р*1 = ?чГяДеРн,
где
мамь ма+м"
- это приведенная масса молекулы, a R = | /?" - Rb |.
Найти ЧГядерн и Ш для потенциала вида
*"(Я) = 1,'аЛ(Л-/?0)2. (3.17.3)
Такой потенциал соответствует силе, действующей между атомами,
пропорциональной отклонению межъядерного расстояния R от его равновесного
значения R0 (здесь Л -силовая постоянная). Для простоты положим, что
энергия вращения молекулы задается ее значением при R = R0.
(3.17.1)
(3.17.2)
20
Указание. Задача аналогична задаче о единственной частице с массой р, в
центральном потенциальном поле &3J1(JR). Следовательно, в сферических
координатах R, •&, <р волновая функция
lj/ядерн ИМеет вид
3.18. Уравнение Шредингера для движения электронов в простейшей молекуле,
например в молекулярном ионе Н?, в атомных единицах имеет вид
где га и гь - расстояния электрона от протонов А и В соответственно, a R
- расстояние между двумя протонами. Если ввести сфероидальные координаты
?, rj, <р:
Ф - азимутальный угол относительно оси молекулы, то в этом уравнении
можно разделить переменные.
Записав ? в виде
найти дифференциальные уравнения для X, Y и Ф.
*3.19. Собственные значения и волновые функции уравнения Шредингера для
иона Н* (см. задачу 3.18) нельзя получить в конечном виде. Тем не менее
возможно установить количественную связь между энергиями электронов,
соответствующими иону и энергиями, соответствующими или "единому атому",
в котором два протона сливаются, или "разделенным атомам", у которых один
из протонов удален в бесконечность. Для этих двух случаев хорошо известны
спектры, подобные спектру водорода, поэтому таким образом можно кое-что
узнать и об электронной структуре молекулы.
Установить эту связь, используя тот факт, что формы узловых поверхностей
волновых функций зависят от межъядерного расстояния R, а число
поверхностей остается постоянным (хотя некоторые из них стремятся к
бесконечности вместе с одним из протонов при R -> оо).
Указание. В сферических координатах г, 0, ф волновые функции единого
атома имеют вид
Между квантовыми числами я,, ле, лф узловых поверхностей R(r) = 0, 0(8) =
0, Ф(ф) = 0 любой из этих волновых функций
(3.17.4)
(
А. _ J___________1_
2 та ть
4-|)Y(r) = g(/?)Y(r), (3.18.1)
Г _ ra + rb Ь R ,
(3.18.2)
- 1 =sST]=sS 1,
?(?, л, Ф) = *(?)У(Л)Ф(Ф),
(3.18.3)
^ (г, Q, Ф) = Я(г)0(6)Ф(ф).
(3.19.1)
21
и ее главным, азимутальным и магнитным квантовыми числами я, I, т
существуют следующие соотношения:
n = nr + ne + nv+1, / = П0 + яф, \т\=пч. (3.19.2)
