Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
означает
a.-jflx + oc/2a2 -f- oc/gQj.
Координаты. Всюду используется фиксированная ортогональная система
координат. Координаты материальной точки Р в естественном состоянии с
нулевым напряжением и фиксированной температурой обозначаются а; (i = l,
2, 3). Координаты той же самой гочки Р в реальном состоянии обозначаются
через X;. В некоторых случаях рассматривается равновесное исходное
(начальное) состояние, отличающееся от естественного состояния, и
координаты точки Р в этом состоянии обозначаются Xi. Единичные векторы
вдоль координатных осей обозначаются: llt 1г, /3.
Смещение. Компоненты вектора смещения и записываются следующим обрачом:
ui-Xi - ai (или X; - а./).
Градиенты деформации:
J/k = dK//dak.
Плотность: р - реальная плотность, о0-плотность в недеформированном
состоянии.
Дельта-символ:
б/*=1, если / = А; бу* = 0, если /=^А.
Тензор бесконечно малых деформаций. Компоненты этого (симметричного)
тензора
в/к=т{д?+д4)-
Тензор конечных деформаций. Компонентами этого (симметричного) тензора
являются
Л/Л = 2 p/Jpk (r)/ft) ¦
Тензор напряжений. Компоненты его записываются: ay. Рассматривается
единичный куб в действительном состоянии; грани куба параллельны
координатным плоскостям Тогда ац есть t-я компонента силы, действующей
через перпендикулярную /-му направлению грань куба на материал внутри
куба.
Термодинамические величины: (/ - внутренняя энергия на единицу массы, F -
свободная энергия на единицу массы, G - функция Гиббса на единицу массы,
S -энтропия на единицу массы, Т-абсолютная температура.
26
Упругие коэффициенты. Адиабатический коэффициент жесткости второго
порядка
Изотермический коэффициент жесткости второго порядка
Т _ / &Г \
си.ы po\an/7ar)ftJi)'
Изотермический коэффициент податливости второго порядка
sT.
s4
__ ( дЮ \
• ы Р° [day дак1)о'
Изотермический коэффициент жесткости третьего порядка
d3F
г ^4ftZ ^Чтл/О
Матричные обозначения. Двойное сочетание ij (i, у = 1, 2, 3) заменяется
единственным символом от 1 до 6 по следующей схеме:
11 -> 1; 22-*¦ 2; 33-*3; 23,32-*4; 31, 13-*5; 12, 21 6.
В такой записи компоненты деформации имеют вид
Tln = Tli> т1и = т1г> т1зз = ,Пэ> т123 = т1зг = 1/гт14 и т- Д-Что
касается коэффициентов упругости, то компоненты жесткости преобразуются
непосредственно по этой схеме, а компоненты податливости преобразуются
следующим образом:
sij, ftz = У2 (1 + 6i/) Va (1 + 6ft/) sm,nt
т. e.
sll, 11 "*¦ S1I> H0 *11, 23 "*¦ 1/as14> a s28. 23 "*¦ 1/is44-
4.1. Среда однородно деформируется, так что
xi - а/ + ауа/>
где щ - координаты материальной точки Р в исходном состоянии в
ортогональной декартовой системе координат, хг-ее координаты в
деформированном состоянии, а/у - константы.
Показать, что если Щ/ - бесконечно малые такого порядка, что их
произведениями можно пренебречь, то компоненты тензора бесколечно малых
деформаций задаются следующим образом:
2 Б/* = ij ¦ ik ij •
где векторы ij - материальные единичные векторы, направленные по трем
координатным осям в исходном состоянии, а // - векторы, в которые
материальные векторы переходят при деформировании. Разобрать
геометрический смысл этого выражения.
Обобщить полученный выше результат, чтобы показать, что в теории
бесконечно малых деформаций
Op (bj ¦ ^ft С; ¦ Cft)
- ! Cj I I Cft I '
где векторы Cj - материальные векторы, не обязательно единичной длины,
первоначально располагавшиеся вдоль координатных осей и при
деформировании переходящие в векторы bj.
27
Наконец, показать, что в теории бесконечно малых деформаций объем К0 в
исходном состоянии переходит в объем V, где
V = Ко (1 + еи + + езз) ¦
*4.2, Решить задачу 4.1, но теперь без предположения, что произведениями
atl- можно пренебречь. Показать, что компоненты тензора конечных
деформаций можно задать в виде
. _ (^/' ^к ' С к)
fk I 9 I ' | Ск |
Показать, что объем куба со сторонами единичной длины, параллельными
координатным осям, после деформации становится равным V:
1 +а11 (r)21 (r)31 1 + 2т)п 2Т)12 2т)1з
а32 , = 2т)12 1 +21122 2т}гз
(r)13 &2Я 1 +"88 2тЬз 2т)гэ 1 +2т)зэ
4.3. Структуру германия можно определить как кубическую элементарную
ячейку со стороной а, в которой атомы занимают следующие положения:
1. (О, 0, 0), 2. 2, 0 j; 3. {-?, 0, yj; 4. (О, у, Tj
i; fl 1 IV й f! A 11 7 f3 1 3Л о м ^ з
\ 4 ' 4' 4 / ' I 4 ' 4' 4 )' \ 4 ' 4' 4 )' \ 4 ' 4' 4
Координаты определены в долях векторов, образующих элементарную ячейку.
Ближайшими соседями 5-го атома являются четыре атома, так что атом
находится в центре правильного тетраэдра, образованного первыми четырьмя
атомами. Кристалл подвергнут деформации, при которой тензор конечной
деформации имеет вид
/Ли О О О т)п О
\0 0 Г1зз/
Вычислить длины связей между 5-м атомом и окружающими четырьмя атомами и
углы между направлениями этих связей в деформированном состоянии,
принимая во внимание, что расстояния и углы внутри элементарной ячейки
изменяются в соответствии с макроскопической деформацией.
