Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
6.2. Принята изотропная упругая модель твердого раствора замещения. Vs -
атомный объем растворяемого вещества A, a Vh - атомный объем растворителя
В.
Чтобы внедрить атом растворяемого вещества, необходимо сначала сжать
объем V5 до размеров Vh, на что потребуется энергия
где К - модуль объемного сжатия. 172
Когда атом растворяемого вещества внедрен, а сжимаюшие силы сняты, тогда
и А н В деформируются, а равновесная энергия изменяется на величину
4 ,, (У",г,от.)г
9'Н- q
где ц -модуль сдвига, Я - средник атомный объем, V,,,,,,,,- объемное
несоотпетствие между обеими реиетками п недеформи-рованноы состоянии
(коэффициент Пуассона принят равным 1,3) [66].
Пусть общее число атомов равно .V, а атомная концентрация
растворенного вещества равна с, Тогда но закону Вегарда объем
растворенного вещества равен
V (с) Nc (?2 4- V"ecMI1)+iV (1 - с) П.
В разбавленном растворе относительное изменение объема прн изменении
концентрации равно 1 dV _
> "dc'~ R
поэтому относительное изменение диаметра внедренного атома 1 da _ 1
Укес6отг _ гА~гв ~а dc = '3 П = F "R-
Здесь гц и rg - атомные радиусы соответственно растпоренного вещества и
растворителя, г - значение радиуса, среднее между Та н Гц. Очевидно,
энергия, затрачиваемая на внедрение атома А, равна 4цеЧ2, а энергия,
которую надо затратить, чтобы внедрить Nc атомов А, равна 4|ie8QiVc,
Аналогично, чтобы внедрить (1 - с) Лг гтомов В в растворитель А, нужно
затратить энергию, рапную 4|i?!fi<V (1 - с). (Замечание. Модули сдвига
матрицы и включения считаются одннако-
Огсвда следует, что ьнутренняя энергия системы (см. задачу 6.1) задается
равенством
Со (с) = 4|ie*?JiVc (i - с). с>го параболическая зависимость от
концентрации, сходная с зависимостью, которая предсказывается на осноие
химической модели (см. задачу 6.1), но с постоянной взаимодействия .4 =
4jiesI2. Положив А ¦- 2tefnsj н приняв разумный крктернн растворимости, а
именно, Тт1, < Г0, (температура плавления), получим критическое значение
деформационного параметра
Н-У15-
Воспользуемся правилом Ричарда: энтропия смешения для металлов по порядку
величины равна газозой постоянной, т. е.
173
Qn-JT^^R, где QnJ1 - скрытая теплота плавления, и правилом Брэгга:
удельная (на 1 см3) скрытая теплота плавления равна 0,034}а. Тогда
kTпд _ RTn]t _ Qnj - \>.Vm \iVm'
где Vm - молярный объем. Отсюда получаем |е| = 13%.
6.3. а) Пусть LZ - энергия, необходимая для образования дефекта Шоттки,
п - число вакантных узлов решетки, a N - число узлов решетки, занятых
атомами. Тогда суммарная энергия, необходимая для образования п дефектов,
равна Е = nU. Энтропия системы S = k Inw, причем вероятность ш
определяется как
(ЛЧ-л)1
ш =
п\ N]
Отсюда следует, что если воспользоваться приближением Стирлинга
lnxlf^xlnx-x для
то свободная энергия при температуре Т°К получится равной F = E-TS = nU-
kT[(N + n)ln(N + n)-nlnn-NlnNl.
При равновесии
.|1 = 0 = (/-ЛГ1п^±^-, дп п *
- exp (-UlkT) = c,
n + N
где с - концентрация дефектов в расчете на число атомных узлов. Для
металлов обычно U ^ 1 эв, так что равновесная концентрация вакансий при
комнатной температуре получается порядка 10-5. Если п <^.N, то число
дефектов будет
п = N exp (-U/kT).
б) Пусть LZ - энергия, необходимая, чтобы внедрить один атом, 7V -
общее число узлов решетки, N' - число возможных межузель-лых положений, а
л -число межузельных положений, занятых атомами. Вероятность ш равна
N\ N'\
W~ л! (N -л)! л1 (Af'-л)! '
Подставляя значение ш в выражение для свободной энергии, получаем, что
при равновесии
U . ла
kT ~ 1П (N-n)(N'-n) •
= exp (-UlkT),
f NN'
174
(N - n)(N'-n)
= exp (-U/2kT), если n-^N.N'.
равновесная Тс К оказы-
Для кубического кристалла N' = N, поэтому концентрация дефектов Френкеля
при температуре вается равной
с = ехр {-U/2kT).
6.4. Упорядоченная ОЦК структура состоит из двух взаимно проникающих
простых кубических решеток, обозначенных на рис. 6.4.1 буквами аир.
Упорядочение полное, если каждая из решеток содержит только один сорт
атомов.
В качестве параметра упорядочения можно выбрать отношение числа атомов А
в а-решетке к числу всех атомов А, т. е. Na, JNa, но удобнее выбрать
параметр (2Na, JNa) - 1, поскольку тогда два упорядоченных состояния
будут записываться как dr 1. Это видно из табл. 6.4.1.
Таблица 641
Рис. 6.4.1. Две взаимно проникающие простые кубические решетки, из
которых составлена упорядоченная ОЦК решетка.
Параметр А атомов в решетке а
упорядочения все 50% ни одного
Na. а Na 1 1/2 0
2..^'" 1 Na 1 0 Состояние
полностью полностью полностью
упорядоченное разупорядоченное упорядоченное
Итак, удобным параметром упорядочения будет г" 2 ЫА.а 4 ЫА,а
Na N '
где N - число всех атомов. Очевидно,
N А, а = 1/*N (1 + w) = Nb. р,
na,^ = 1UN(i-w) = nb, а!
здесь латинскими индексами обозначены атомы, а греческими - решетки.
Определим функцию р следующим образом:
NА, Р
pWa, p) = "1va
175
Рассмотрим теперь числа первых ближайших соседей для каждого сорта
