Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
возрастании температуры. В пределе теплопроводность будет, разумеется,
ограничена предельным рассеянием, как было показано в задаче 5.19.
На рис. 5.20.1 приведен график зависимости КТ от Т для твердого аргона.
рис 5 20.1. Зависимость В пределах ошибок измерений КТ при- %т от Т для
твердого нимает постоянное значение, равное при- аргона,
мерно 235 мет см-1 при Т'>30°К. Резкое возрастание КТ в области Т < 30 °К
соответствует экспоненциальному изменению К, но для определения точной
формы температурной зависимости К имеющихся данных недостаточно.
5.21. Полное выражение для теплового сопротивления металла должно
содержать две составляющие: вклад от рассеяния фононов (см. задачи 5.19 и
5.20) и дополнительные вклады, возникающие из-за наличия электронов. В то
же время в большинстве металлов только малая часть тепла переносится
фононами. Для решения нашей задачи надо рассмотреть только электронное
тепловое сопротивление W3a. Его можно разделить на два вклада [64].
а) Первый вклад W0 возникает из-за рассеяния электронов статическими
дефектами (примеси, изотопы, вакансии и т. д.). Если использовать общее
соотношение для К, т. е. формулу
(5.19.1), то А становится независимой от температуры, если v существенно.
А так как мы можем считать Сая = уТ (см. задачу 5.15), то получаем
^о = Р/7\ (5.21.1)
б) Второй вклад W{, возникающий из-за рассеяния электронов колебаниями
решетки, можно определить, только если в явном виде известна функция G(v)
(допущения, принятые в модели Дебая, оказываются недостаточными). В
области длинных волн, где в уравнениях (5.3.1) и (5.3.2) преобладают
первые члены, величина Wi должна определяться выражением
Wi = а7"2 + (члены более высокого порядка с Г4 и т. д.). (5.21.2)
КТ.мИш-сш'1
169
Объединяя (5.21.1) и (5.21.2), получим
Р
1
= wajl=w0+wi=-?+*T*+...
(5.21.3)
Чтобы разделить эти два вклада, начертим график зависимости Т/К от Т3 для
калия (рис. 5.21.1). Пересечение этой прямой
с осью ординат (Г3 = 0) дает довольно точное значение р = 0,55 ±0,03.
Коэффициент а можно определить по предельному наклону, показанному
пунктирной линией, но, конечно, при этом возможна большая ошибка.
6. Дефекты в кристаллах
6.1. Рассмотрим некий твердый раствор с общим числом атомов N. Пусть с -
концентрация атомов А, а (1-с) -атомов В. Чтобы найти свободную энергию
этой системы, необходимо вычислить внутреннюю энергию Е0 (с) и энтропию
S.
Пусть V АА, VBBi У ав - энергии связи для трех первых ближайших
координационных сфер. Число связей А А, ВВ и АВ будет соответственно
равно Naa = 1I2Nzc2, NBB = 1jiNz(\-с)*, Nab = Nzc(\ - с); здесь г -
координационное число.
Е0 (с) = NaaVаа-\- МВвУвв-\- NabVав =
= ЧЛг [cVaa + (1 - с) VBB + с (1 - с) (2VAB ~ Удл - Vвв)]-График этой
функции показан на рис. 6.1.1, а.
Рис. 5.21.1. Разделение вкладов в электронное тепловое сопротивление
калия от рассеяния на дефектах и на фононах.
Рис. 6.1.1. Зависимость внутренней энергии Еа (а) и энтропии смешения
SCMelL, (б) от состава неупорядоченного твердого раствора.
Рассмотрим теперь энтропию смешения 5смеш. Пусть п - число атомов А,
входящих в общее число N атомов. Так как S = ft In до (ft - постоянная
Больцмана, w - термодинамическая вероятность),
170
то
= ? In ("!), SB = k In [(W - я)!], SAB = k In (N1).
Если воспользоваться приближением Стирлинга,
In*! "ajcln* - x для *>>1, то энтропию смешения можно записать как
М\
SAB-SA-SB = k In пцЫ_пу- = ~ &V[clnc + (l -с) In (1 -с)].
Эта функция показана на рис. 6.1.1, б.
Свободная энергия системы при температуре Т °К равна
F = Е - TS = Е0 (с) - TSCMai + К (с, Т),
где
т т
К (с, Т) = { CpdT~T \ -?йТ. о о'
На рис. 6.1.2 показаны три возможных вида этих кривых в зависимости от
состава неупорядоченного твердого раствора,
л A-"" 'J
V"'- •"/
~TS"
Щй'^АА * VsB
Рис. 6.1.2. Три вида зависимости свободной энергии от состава
неупорядоченного твердого раствора.
а на рис. 6.1.3 -один из видов функции F при разных температурах.
Минимумы на кривых рис. 6.1.3 с ростом температуры постепенно
сглаживаются. По этим минимумам можно определить пределы растворимости
первичного твердого раствора, пользуясь
171
правилом рычага (как показано на рис. 6.1.4). Характер зависимости
предела растворимости от температуры определяется
Рис. 6.1.3. Зависимость свободной Рис. 6.1.4. Предел раствори-
энергии F от состава твердого раствора, мости в твердом состоянии для
в котором энергии связи VAA и бинарной системы, изображенной
VBB равны, a 2VAB>VAA + VBg. на рис. 6-1.3.
следующим образом. Пусть V аа = Vвв, А = Vaz (2VАв - 2VAA), тогда E0(c) =
42NzVBB + NAc(l-c).
В точке минимума
¦^ = 0 = AM(l-2e) + 7Wft[lnc+l-ln(l-c)-l]. Искомое выражение для предела
растворимости имеет вид ~ ехр [-А (1 -2c)/kT],
или, если с<^ 1,
с = ехр (-A/kT).
Температура Ттах, выше которой при любом составе имеется полная
растворимость, отвечает концентрации с =1/2. Записав
0-2c)[l-^(l-c)] = 0
и подставив с= 1/2, получим A =2kTmax, откуда Ттах = A/2k.
