Задачи по физике твердого тела - Голдсмид Г. Дж.
Скачать (прямая ссылка):
учебниках и статьях.
Обычно у определяется как
(5.5.3)
ос/к
В нашей задаче можно принять у = 2,8.
На рис. 5.5.1 результаты вычислений приведены в виде графика зависимости
0е от температуры Т при постоянном объеме
V - V (О °К). В области температур Т < 20 °К кривая имеет обычную
форму: 0е (Т) сначала убывает с увеличением Т, а затем проходит через
минимум. Если бы колебания были строго гармоническими, то можно было бы
ожидать, что при высоких температурах кривая будет более пологой.
Причиной постоянного" возрастания, которое видно на рис. 5.5.1, возможно,
является ангармонический вклад в теплоемкость.
5.6. Квантовостатистическое выражение для энергии ансамбля осцилляторов
имеет следующий вид:
3 N
Е%0Мъ = ЬТ У
Рис. 5.5.1.
/-1
е'-1
(5.6.1)
При высоких температурах (л,<2л) величину х/(ех - 1) можно разложить в
степенной ряд по х [56]:
= + + (5.6.2)
где Вп - числа Бернулли. Если этот ряд подставить в уравнение
(5.6.1), то выражение для ^колеб примет вид
?колеб = 3 NkT
1
<5-6-3>
где v2, V4,
\kT] 41 моменты, по определению равные
ОО
v" = gjy ^ v"G (v) dv.
(5.6.4)
(5.6.5)
Поскольку
?колеб==?г + ? Т,
Т
где ^ - нулевая энергия, a ET = \CvdT - тепловая энергия, то
о
Ет=-Ег + 3NkT [l +~ i B21 72 (A)1 -...]. (5.6.6)
158
Если температура достаточно высока, так что член в квадратных скобках
близок к единице, то график зависимости Ет от Т будет прямой линией.
Отрезок, отсекаемый этой прямой, при Т = 0 будет равен -
График зависимости Ет от ^т¦кaл^гa'm"l,
Т, построенный по данным для юоо германия, приведен на рис. 5.6.1.
С высокотемпературной стороны эта кривая стремится к предельной
пунктирной линии. Точка пересечения дает значение Ez=
= 580 кал ¦ г-атом-1. Точное значение Ег равно 833 ± 3 кал ¦ г-атом1
[54]. Это значит, что предельная линия, показанная на рисунке, не может
быть верной. На самом деле график зависимости ЕТ от Т в области Т > 300
"К сильно загибается вверх.
5.7. Нижний индекс у характеристических температур в?> и 0^, обозначает
предельные значения при высоких температурах. Эти температуры легко
выразить через средние значения частотного распределения. В частности,
Рис. 5.6.1. Зависимость тепловой энергии Ет от Г для кристаллического
германия.
Ql = e]/^
где - среднее геометрическое значение частоты.
Оказывается, что нулевая энергия соответствует среднему значению между vg
и корнем квадратным из второго момента, Уva (см. также разбор задач 5.8 и
5.13). Следовательно, для нашей задачи будет хорошей аппроксимацией
вычисление Ez из среднего арифметического в?> и 0^, т. е.
о -|_ел
F - - Nk " nz- 8 ПК
139 кал-г-атом-1
Статическая энергия решетки Е0
Е0 = - A#субл (0 °К) - Ег = (- 2666 - 139) кал ¦ г-атом-1 =
= - 2805 кал ¦ г-атомг1.
5.8. Параметры Грюнайзена, обозначенные у(п), по определению равны
/ \ 1 din v" /с о
= (5-8Л>
и выражают зависимость моментов частотного распределения от
159
объема. Если твердое тело подчиняется уравнению состояния Грюнайзена, то
у (п) - постоянная, не зависящая от я и равная термодинамической функции
у из уравнения (5.5.3).
Нулевая энергия эквивалентна первому моменту частотного распределения,
так что нам надо найти 7(1). Можно построить график зависимости у от п и
получить у(1) интерполяцией кривой в области между -у(О) и у (2). В
результате получим 7(1) =1,55. Изменение объема при О °К, вызванное
нулевой энергией, задается (приближенно) следующим соотношением [35]:
ЛК 'KL/nc. /|;оох
К(0'Ю V (О "ЮY( ) г' (а.8.2)
Подставив численные значения в правую часть (5.8.2),
получим
V (О *К) =0>93%.
5.9. Выражение для энтропии диэлектрика в области низких температур
можно получить интегрированием отношения CJT,
если С, задано формулой (5.3.2). Так, получаем
S = yT3 + yГ5 + уТ7 + ... (5.9.1)
На основе известного термодинамического соотношения
(#)г - х7 <6-9-2"
для р (= За) можно получить
Р=*'-(!)г=Чт$)гГ,+
+ '(|)гг- + ...]. (5.9.3)
По графику зависимости р/Т3 от Тг можно определить коэффициенты при Т3,
Тъ и т. д. На рис. 5.9.1 показан график зависимости а/Т3 от Тг. Видно,
что в пределах его точности экспериментальные результаты описываются
следующим усеченным рядом:
а = ATt + BTt, (5.9.4)
где А = 4,3 (± 0,2) ¦ Ю"10 градВ = 3,2 (± 0,6) ¦ 10-12 град А
5.10. Продифференцировав уравнение (5.6.3) по температуре, получим
разложение теплоемкости при высокой температуре
(5.10.1)
160
а/Т1, Ю'№граВ~*
Тг
Рис. 5.9.1. Зависимость а/Т3 от Тг для Nal.
а-линейный коэффициент термического расширения.
Данные для высокотемпературной области (T>hx/2nk) можно проанализировать,
построив график зависимости от 1/Г2. В то же время эквивалентный ряд для
характеристической температуры
<ес)ро5'К
[0c(r)]* = (0?)2[l
А' [$)\-
(5.10.2)
Рис. 5.10.1. Определение второго момента частотного распределения для
кристаллического кремния.
сходится быстрее и им удобнее пользоваться.
Зависимость величины [0е (Г)]2 от 1/Т2 показана на рис. 5.10.1, и из нее
получаем 0^ = 675 °К. Отсюда и из
