Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
перемещается с групповой скоростью duo/dk. Это и есть скорость движения
волнового пакета. Как мы уже знаем, групповая скорость движения волн де
Бройля равна скорости частицы:
duo/dk = d(hu)/d(hk) = dE/dp = p/m = v.
Здесь следует отметить, что волновой пакет "размывается" со временем из-
за того, что входящие в его состав волны перемещаются в пространстве с
разной скоростью. Скорость, с которой "расплывается" волновой пакет,
зависит от массы и для больших тел ничтожно мала.
III. Приведенные рассуждения можно провести и для вращательного
движения, когда одно тело (или частица) обращается в кулоновском
184
Глава б
поле другого (атом водорода и другие подобные системы). Мы уже отмечали,
что в квантовой физике наиболее интересны обладающие определенной
энергией стационарные состояния, которые сильно "размазаны" в
пространстве. Но если начать исследование движения с локализованного
состояния, то волновой пакет и в этом случае некоторое время движется
почти как классическое тело1. Со временем, однако, сходство пропадает,
потому что волновой пакет "расплывается".
Рассмотрим квантовые переходы, при которых вращающееся заряженное тело
испускает электромагнитное излучение2. Пусть энергия тела на исходном
уровне равна Е\, а на конечном - Е2. Соответствующие этим энергиям
частоты равны = Ei/h и си2 = E2/h. Возникает вопрос, почему вращающийся
заряд излучает свет, характеризующийся частотой со = - со2, а не
"своими" частотами coi или со2?
Размышление над этим вопросом показывает, что сам вопрос поставлен
неправильно. Мы, конечно, вправе ожидать, что частота фотона окажется
равной частоте движения заряженного тела или описывающих его волн - но не
фазовой частоте, а групповой. Иначе говоря, в соответствии с постановкой
задачи в классической физике, мы должны "собрать" волновую функцию в
волновой пакет и посмотреть, как этот пакет будет двигаться. При расчетах
мы ограничимся случаем больших квантовых чисел, так как только для них
можно ожидать согласия между квантовыми и классическими представлениями.
Для упрощения рас-суждений ограничимся электромагнитными переходами, не
затрагивающими радиального движения, и будем считать, что плоскость
вращения заряженного тела при излучении сохраняется. Иначе говоря, будем
считать, что при излучении не только Al = 1 (правила отбора), но и Ат = 1
(сохранение плоскости движения).
После этих предварительных замечаний попробуем установить, с какой
частотой вращается волновой пакет, представляющий положение вращающегося
заряженного тела. Пусть в начальный момент это положение описывается
угловой координатой ср, величина которой установлена с точностью Аср. Это
распределение может быть представлено в виде ряда Фурье:
оо
ф(<р) = Аше~гт<р- (6.28)
т= - оо
Из этого соотношения следует, что "собранная по азимуту" ^-функция
Локализовать положение электрона в атоме водорода невозможно, так как при
уточнении координаты электрону неизбежно приходится сообщать такую
большую энергию, что он отрывается - или почти отрывается - от ядра.
2Мы говорим здесь о заряженном теле потому, что "уточнить" координату
электрона в атоме, как мы уже знаем, не удастся.
§36. Классическая и квантовая физика
185
описывает частицу в состоянии, в котором она не имеет определенного
углового момента, подобно тому, как "собранная по координате" ^-функция
описывает частицу, не имеющую определенного значения импульса. При всяком
данном Аср распределение по угловому моменту Аш имеет максимум при
некотором т и характеризуется некоторой шириной Ат подобно тому, как это
происходит с координатой и импульсом.
Найдем теперь, с какой угловой скоростью передвигается максимум.
Сравнивая (6.28) с (6.27), найдем, что рассматриваемая задача вполне
аналогична задаче о движении обычного волнового пакета. Поэтому можно не
производить новых расчетов, а заменить переменные в старых: вместо
координаты х следует рассматривать угол ср, вместо импульса р - угловой
момент М = mh, вместо групповой скорости vrv - соответствующую угловую
скорость Qrp. Угловая скорость Qrp находится по формуле, аналогичной
формуле vrv = duo/dk, которую лучше в этом случае записать в виде vrp = h
duo/dp. Тогда
В этом выражении появилось дифференцирование по дискретно меняющейся
величине т. При большой величине квантового числа т в этом нет ничего
плохого, надо просто от дифференциалов перейти к конечным разностям, т.
е. вместо dE/dm писать АЕ/Ат, так что
Замечая, наконец, что при рассматриваемых переходах т2 - mi = 1, находим,
что круговая частота обращения волнового пакета действительно совпадает с
частотой излучаемого кванта. При движении крупных тел, рассматриваемых
классической физикой, их наблюдаемое движение полностью совпадает с
движением волнового пакета и выводы классической физики снова оказываются
правильными.
IV. Обратимся к соотношениям неопределенностей. Выше уже было показано,
что эти соотношения по своему смыслу являются классическими. Они
