Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
является суммой ее потенциальной и кинетической энергии. Это утверждение
просто не имеет смысла, поскольку потенциальная энергия зависит от
координат частицы, а кинетическая - от ее импульса. В силу принципа
неопределенностей координата и импульс не могут быть измерены
одновременно, а значит, потенциальная и кинетическая энергия не могут
быть одновременно известны.
В § 6 отмечалось далее, что утверждение классической физики о равенстве
полной энергии частицы и суммы ее потенциальной и кинетической энергий в
квантовой механике заменяется на соответствую-
182
Глава б
щие соотношения между средними значениями этих величин. При больших
квантовых числах разброс значений кинетической и потенциальной энергии
становится несущественным, обе эти энергии с достаточной точностью равны
своим средним значениям, так что классическое утверждение приобретает
смысл и выполняется с прекрасной точностью. Здесь следует указать на
важное исключение. В атоме водорода полная энергия при п -> оо не
возрастает, а стремится к некоторому пределу, который удобно полагать
равным нулю. Кинетическая и потенциальная энергии электрона при
увеличении п мало меняются. Поэтому утверждение о том, что полная энергия
может быть найдена как сумма потенциальной и кинетической энергий,
неприменимо к атомам ни при каких квантовых числах. Это важное исключение
следует иметь в виду. Квантовая физика при больших квантовых числах, как
правило, переходит в классическую, но прежде, чем это окончательно
утверждать, в каждом конкретном случае следует убедиться в том, что
основные физические величины, характеризующие движение, при больших
квантовых числах приобретают неограниченно возрастающие или, по крайней
мере, достаточно большие значения. Любопытно, однако, что даже в атоме
водорода при увеличении квантовых чисел движение приобретает многие
классические черты. Так, с увеличением главного квантового числа п
увеличивается среднее расстояние между электроном и ядром (напомним, что
это расстояние возрастает как п2), а следовательно, уменьшается
"неклассическая часть" энергии, связанная с неопределенностью импульса, и
т. д.
Итак, в большинстве случаев (не относящихся к числу исключений)
возрастание квантовых чисел приводит к увеличению числовых значений
физических величин. Квантовые соотношения между средними значениями этих
величин превращаются в привычные классические формулы.
3. Важнейшим результатом квантовой теории является утверждение о
существовании у частиц "нулевой" энергии1, которая в классической физике
не появляется вообще. Поскольку при увеличении энергии частицы вклад
нулевой энергии в полную (см., например, формулу для энергии осциллятора)
становится малым, пренебрежение нулевой энергией в классической физике
вполне оправдано.
II. Обратимся к еще одному важному различию между классической и
квантовой физикой. Классическая физика, как правило, начинает
исследование с того, что экспериментатор устанавливает начальное
положение и начальную скорость тела. Квантовая физика, наоборот, чаще
всего исследует стационарные состояния частиц (состояния с постоян-
1 Имеется в виду наименьшая энергия, которую может иметь система, - ее
энергия при нулевых значениях квантовых чисел.
§36. Классическая и квантовая физика
183
ной энергией) и переходы между ними. Состояния микрочастиц (например,
электронов) "размазаны" по значительному объему не потому, что не бывает
локализованных состояний, а потому, что такие состояния нас до сих пор не
интересовали и, вообще, редко представляют физический интерес, так как
они не обладают определенным импульсом, определенной энергией и
определенным угловым моментом (см. ниже).
Не составляет, однако, большого труда - если в этом возникает
необходимость - описать с помощью квантовой механики локализованные
состояния электрона (или любой другой частицы). Повторим здесь
рассуждения §4. Пусть, например, мы установили, что электрон находится в
окрестности точки х и занимает некоторую область Ах, так что его ^-
функция имеет вид, изображенный на рис. 13. Такое состояние в квантовой
физике называют волновым пакетом. Это состояние может быть разложено по
набору любых собственных функций уравнения Шредингера, например,
представлено в виде суммы или интеграла Фурье:
оо
ф(х) = J <р(р)ехр(*^) Ф- (6-27)
- ОО
Распределение по импульсам <р(р) отлично от нуля при всех (или почти
всех) значениях импульса, но главным образом сосредоточено в области с
шириной Ар " 2ттН/ Ах.
Рассуждая в духе классической физики, можно теперь поставить вопрос о
движении частицы с известной начальной координатой, т. е. о движении
волнового пакета. Задача о движении такого пакета (или, что то же самое,
группы волн) хорошо изучена в классической физике. Волны типа exp(грх/К),
или при полной записи expi(px/h - ut), движутся аналогично классическим.
Общеизвестный результат заключается в том, что составляющие пакет волны
движутся с фазовой скоростью ии/к, в то время как гребень волны
