Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Легко видеть, однако, что при переименовании электронов функция Ф1 совсем
не изменяется, а функция Ф2 меняет знак. Поскольку распределение частиц
зависит от квадрата модуля ^-функции, изменение знака функции ни на каких
наблюдаемых на опыте явлениях обнаружено быть не может. Характер
симметричной функции Ф1 и антисимметричной функции Ф2, однако,
существенно различен. Рассмотрим, например, случай, когда оба состояния
ф\ и ф\\ идентичны. Функция Ф2 при этом тождественно обратится в нуль, в
то время как с функцией Ф1 ничего существенного не произойдет. Частицы,
которые описываются антисимметричными функциями, не могут поэтому быть в
одинаковом состоянии, в то время как частицы, которые описываются
симметричными функциями, в одинаковых состояниях быть могут2.
Множители 1у/2 вводятся в (6.5) и (6.6) для нормировки. Дальнейшее
обсуждение этого вопроса отложим до § 52.
2Рассуждения, которые привели нас к необходимости описывать микрочастицы
сим-
метричными и антисимметричными функциями, проводились, для простоты, на
примере
невзаимодействующих частиц. Полученный вывод является, однако, вполне
общим.
§31. Принцип Паули (принцип исключения)
145
Опыт показывает, что электроны и все другие частицы, обладающие полуцелым
спином (электроны, протоны, нейтроны и т.д.), описываются
антисимметричными волновыми функциями. Мы показали, что частицы,
описываемые антисимметричными волновыми функциями, не могут находиться в
одном и том же состоянии. Существование принципа Паули для электронов
является, таким образом, необходимым (но не единственным!) следствием
более общего утверждения о том, что электроны описываются
антисимметричными волновыми функциями.
Опыт показывает также, что световые кванты, 7г-мезоны и, вообще, все
частицы, обладающие целым спином, описываются симметричными волновыми
функциями. Такие частицы принципу Паули не подчиняются.
Частицы с полуцелым спином, на которые распространяется принцип Паули,
называются частицами Ферми - Дирака, или фермиона-м и. Частицы с целым
спином называются частицами Бозе - Эйнштейна, или бозонами. Разделение
микрообъектов на ферми-частицы и бо-зе-частицы справедливо не только для
элементарных частиц, но также и для сложных образований, например для
атомных ядер и для самих атомов. Правило остается тем же: симметричными
волновыми функциями описываются сложные частицы с целым спином, т. е.
системы, состоящие из бозонов или четного числа фермионов. Если же число
фермионов нечетно, то система описывается антисимметричной волновой
функцией и подчиняется принципу Паули. Так, а-частицы, состоящие из двух
протонов (спин протона равен 1/2) и двух нейтронов (также обладающих
спином 1/2), являются бозонами, и принцип Паули на них не
распространяется, тогда как сами протоны и нейтроны принадлежат к числу
фермионов и подчиняются принципу Паули.
На первый взгляд кажется, что необходимость симметризации (или
антисимметризации) волновых функций должна приводить к невероятным
трудностям. В самом деле, при решении любой задачи об электронах мы
должны, строго говоря, найти волновые функции всех электронов во
Вселенной, и из них составить полностью антисимметричную функцию, т. е.
функцию, меняющую знак при перестановке любой пары электронов. Задача,
действительно, фантастическая! К счастью, учет всех электронов вовсе не
является необходимым. Простое математическое исследование показывает, что
нет необходимости принимать во внимание электроны, волновые функции
которых не перекрываются (или почти не перекрываются) с волновой функцией
рассматриваемого электрона. Практическое правило заключается в том, что
волновая функция, должна быть антисимметризована для всех электронов с
заметно перекрывающимися ф-функциями. Поэтому вычисления, произведенные
нами для атома водорода, применимы только для изолированных
146
Глава 6
атомов водорода и не годятся для молекул. В конденсированных веществах
только электроны, принадлежащие внутренним оболочкам, могут
рассматриваться как принадлежащие одному атому (гл. 11).
§ 32. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
Рассмотрим связь между строением электронной оболочки атомов и их местом
в таблице элементов Д. И. Менделеева.
Для подсчета числа возможных состояний электронов можно пользоваться
любым набором четырех независимых квантовых чисел, например числами n, Z,
mi и т8. Набор этих чисел определяет некоторое квантовое состояние.
Согласно принципу Паули во всяком данном квантовом состоянии может
находиться не более одного электрона. При заданном значении I в атоме
существует 2(21 + 1) состояний с различными mi и ms} Таким образом,
независимо от значения п, в 5-состоянии может находиться 2 электрона, в
р-состоянии - 6 электронов, в d-состоянии - 10 электронов, и т.д.
При данном значении главного квантового числа п, как мы уже внаем, всего
существует 2п2 различных состояний. Все эти состояния образуют n-слой
электронной оболочки атома. Слой может быть заполненным или
