Квантовая физика. Водный курс - Гольдин Л.Л.
Скачать (прямая ссылка):
должны занимать уровень с наименьшей возможной энергией, т. е. наиболее
глубокий уровень атома. Но опыт указывает на то, что это не так. Но мере
увеличения Z происходит последовательное заполнение электронных уровней
атомов. Чтобы объяснить такое заполнение уровней, Паули высказал гипотезу
о том, что в любом квантовом состоянии может находиться только один
электрон. Каждый следующий электрон невозбужденного атома должен поэтому
занимать самый глубокий из еще не заполненных уровней. Всесторонняя
проверка подтвердила справедливость гипотезы Паули.
Утверждение, что в одном и том же квантовом состоянии не может находиться
более одного электрона, имеет всеобщую применимость и обычно называется
принципом исключения или принципом Паули. Принцип Паули справедлив не
только для электронов, находящихся в одном и том же атоме, но и для всех
электронов во Вселенной. При этом следует помнить, что состояния
электронов
п
§31. Принцип Паули (принцип исключения)
143
могут отличаться как по энергии, так и по пространственному
распределению.
Исследуем математическую сущность принципа Паули. Возьмем систему,
состоящую из двух электронов, находящихся в некотором силовом поле.
Координаты первого электрона отметим индексом 1, а координаты второго -
индексом 2. Пусть первый электрон находится в квантовом состоянии I,
которое описывается волновой функцией ф\(х\, 2/i, zi), а второй электрон
- в квантовом состоянии II с волновой функцией фи(^2, У2, Z2). Поскольку
по предположению в состоянии I находится первый электрон, ф\(х\, у\, z\)
есть амплитуда вероятности найти этот электрон в окрестности точки (х\,
у\, z\)\ ф\ в этом случае является функцией координат первого электрона.
Аналогичным образом функция Фп(х2, 2/2, Z2) - амплитуда вероятности найти
второй электрон в окрестности точки (#2, 2/2, Z2) - является функцией
координат второго электрона.
Рассмотрим теперь распределение обоих электронов. Оно описывается
функцией, зависящей от координат как первого, так и второго электронов,
т. е. от шести координат х\, у\, zi, 2/2, ^2- "Выключим" для простоты
силы, действующие между электронами. Если бы электроны не подчинялись
принципу Паули, их движение в отсутствие взаимодействия было бы
независимым. В теории вероятностей показывается, что вероятность события,
представляющего собой совпадение двух независимых событий, равна
произведению вероятностей обоих событий. В нашем случае в качестве таких
событии следует рассматривать нахождение первого электрона в окрестности
точки 1 и второго электрона - в окрестности точки 2. Поэтому следовало бы
ожидать, что амплитуда вероятности, описывающая поведение электронов,
имеет вид
^1,2 = 2/1, Z\)lj}i\(x2, 2/2, z2). (6.4)
Легко видеть, что такая запись находится в противоречии с представлениями
квантовой механики. В самом деле, написанная формула утверждает, что
функция ф\ описывает распределение именно первого электрона, в то время
как поведение второго электрона описывается функцией фи. Иначе говоря,
наша запись содержит в неявном виде предположение о том, что можно
установить, какой из электронов является первым, а какой - вторым.
Мы уже знаем, что все электроны вполне тождественны, так что отличить их
друг от друга по каким либо "внешним признакам" невозможно. Можно ли
отличить их по начальному состоянию, например назвать первым электрон,
который в некоторый момент времени находился в окрестности точки 1, а
вторым - тот, который в это время был около
144
Глава б
точки 2? Сможем ли мы в дальнейшем установить, который из
электронов является первым, а какой вторым? Легко видеть, что
нет. В самом
деле, положение каждого из электронов описывается ^-функциями,
размазанными, вообще говоря, по всему пространству. А так как электроны
не имеют траекторий, то невозможно установить, какой из электронов пришел
в ту точку, где он через какое-то время был обнаружен.
Таким образом, написанное выше выражение позволяет знать об электронах
больше, чем может быть обнаружено на опыте, и уже поэтому не может быть
правильным.
Существуют два способа записи амплитуды вероятности1, которые не обладают
отмеченным недостатком:
^i(ri, Г2) = (l/v7^) ['0i(ri)-i/>n(r2) + '0n(ri)'0i(r2)], (6.5)
Фг(гъ r2) = (1/л/2)[^1(г1)^1(г2) - #(ri)^i(r2)]. (6.6)
В этих формулах ri и г2 обозначают совокупности трех координат х\, 2/i,
z\ и х2, У2, соответственно. Каждое из этих выражений состоит из двух
членов. Первый член описывает состояние, когда в состоянии I находится
первый электрон, а в состоянии II - второй электрон, а второй член -
состояние, когда в состоянии I находится второй электрон, а в состоянии
II - первый. Поскольку эти состояния теперь смешаны, узнать, где
находится какой электрон, невозможно.
Обратим внимание на важную особенность функций Ф1 и Ф2, определенных
(6.5) и (6.6). Назовем первый электрон вторым, а второй - первым. От
такого переименования электронов, конечно, ничего измениться не должно.
