Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 22] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 95
прежнем выводе мы предполагали результаты изготовления отдельных изделий взаимно независимыми событиями, и действительно, наш прежний способ вывода годился только при этом предположении; теперь же мы можем обойтись без этого предположения, так как правило сложения средних значений, на которое мы опираемся в нашем новом выводе, имеет место для любых случайных величин, без всякого ограничения. Таким образом, какова бы ни была взаимная зависимость между отдельными станками и изготовляемыми ими изделиями, если только вероятность изготовления брака р для всех станков одна и та же, среднее число бракованных изделий среди выбранных п всегда равно пр.
§ 22. Теорема о среднем значении произведения
Тот же вопрос, который мы разрешили для сумм случайных величин, часто приходится рассматривать и для их произведений. Пусть случайные величины х и у снова подчиняются соответственно законам распределения, указываемым таблицами (I) и (II). Тогда произведение ху есть случайная величина, возможными значениями которой служат произведения вида Xiy$ (l^Ci^Ck, 1^/^/); вероятность значения хгу, равна рц. Задача состоит в отыскании такого правила, которое позволило бы во всех случаях выражать среднее значение ху величины ху через средние значения сомножителей. Однако в общем случае решение этой задачи оказывается невозможным. Знанием средних значений х и у величина ху, вообще говоря, не определяется однозначно (т. е. при одних и тех_же х и 1J возможны различные значения величины ху)', вследствие этого никакой общей формулы, выражающей ху через х и у, существовать не может.
Но есть один важный случай, когда такое выражение возможно, и тогда получаемая связь носит чрезвычайно простой характер.
Условимся называть случайные величины х и у взаимно независимыми, если события х — Xi и у = yj
06
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ [ГЛ 9
при любых i и / взаимно независимы, т. е. если условие, что одна из наших двух случайных величин приняла то или другое определенное значение, не влияет на закон распределения второй случайной величины. Если величины х и у взаимно независимы в только что определенном смысле, то
Pn = PiQi (i=l, 2, k\ / = 1, 2, /)
по правилу умножения для независимых событий; поэтому
к I к I
ху = 2 2 XiiJjPn =22 XitjjPtfj =
i-1 }—I i—1 / = 1
к I
= JjXiPi 2 UjQ i — *' y< i-i t=i
для взаимно независимых случайных величин среднее значение произведения равно произведению средних значений сомножителей.
Как и в случае сложения, это правило, выведенное нами для произведения двух случайных величин, автоматически распространяется на произведение любого числа сомножителей; при этом необходимо только, чтобы эти сомножители были взаимно независимыми, т. е. чтобы задание каких-либо определенных значений для части этих величин не втияло на законы распределения остальных величин.
Пример 1. Допустим, что требуется измерить площадь прямоугольной формы посредством аэрофотосъемки и что измерение сторон этого прямоугольника дало 72 м и 50 м. Закон распределения ошибок измерения неизвестен, но "известно, что ошибки одинаковой величины в ту и другую сторону одинаково вероятны; тогда ясно из соображении симметрии (и легко может быть доказано, см. задачу 3 на стр. 87), что средние значения сторон прямоугольника совпадают с полученными результатами измерений. Если эти два результата измерения можно считать взаимно независимыми случайными величинами, то среднее значение плошади прямоугольника по только что выведенному нами правилу умножения будет равно произве-
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
дению средних значении его сторон, т. е. 72-50 = = 3600 м2. Но иногда могут быть основания предполагать измерения сторон взаимно зависимыми. Это будет, например, в том случае, если оба измерения производятся одними и теми же недостаточно выверенными приборами. Если измерение длины дает результат, значительно превосходящий истинную длину, то мы, естественно, имеем основание предполагать, что измерительные приборы вообще склонны давать слишком большие величины, вследствие чего повышается вероятность преувеличенных значений и при измерении ширины, так что эти две величины нельзя считать взаимно независимыми. В таких случаях среднее значение площади не может быть принято равным произведению средних значений сторон прямоугольника, и для определения его требуется дополнительная информация.
Пример 2. По проводнику, сопротивление которого зависит от случайных обстоятельств, течет электрический ток, сила которого также зависит от случая. Известно, что среднее значение сопротивления проводника равно 25 омам, а средняя сила тока равна
6 амперам. Требуется подсчитать среднее значение электродвижущей силы Е текущего по проводнику тока.
Согласно закону Ома
Е = RI,
где R — сопротивление проводника, / — сила тока.
