Элементарное введение в теорию вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Как показывают рассмотренные нами примеры, во многих случаях практически наиболее важным оказывается вопрос о том, насколько велики, вообще говоря, отклонения значений, фактически принимаемых данной случайной величиной, от ее среднего значения, т. е. как сильно эти значения раскиданы, рассеяны; будут ли они по большей части тесно сгруппированы вокруг среднего значения (а значит, и между собой), или, напротив, большинство из них будет отличаться от .среднего значения очень резко (в этом случае некоторые из них по необходимости будут значительно отличаться и друг от друга).
§24] ИЗМЕРЕНИЕ РАССЕЯНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Ю1
Следующая грубая схема позволяет ясно представить себе картину этого различия. Рассмотрим две случайные величины со следующими распределениями вероятностей:
-0,01 + 0,01
0,5 0,5
(I)
-100 + 100
0,5 0,5
(И)
Обе случайные величины, таблицы которых мы выписали, имеют своим средним значением нуль, но, в то время как первая из них всегда принимает значения, очень близкие к нулю (и между собой), вторая, наоборот, способна принимать лишь значения, резко отличающиеся от нуля (и друг от друга). Для первой величины знание ее среднего значения дает нам вместе с тем и ориентировочные сведения о ее фактических возможных значениях; для второй же — среднее значение удалено от фактических возможных значений весьма значительно и не дает о них никакого представления. Мы говорим, что во втором случае возможные значения рассеяны гораздо больше, чем в первом.
Таким образом, наша задача — найти число, которое разумным образом могло бы давать нам меру рассеяния случайной величины, которое хотя бы ориентировочно указывало нам, сколь больших отклонений этой величины от ее среднего значения нам следует ожидать. Отклонение х — х случайной величины х от ее среднего значения х само есть, очевидно, случайная величина; случайной величиной будет и абсолютное значение \х — 5?| этого отклонения, характеризующее его размер вне зависимости от знака. Желательно иметь число, которое могло бы ориентировочно охарактеризовать это случайное отклонение \х — 5?|, сказать нам о том, сколь большим, примерно, может оказаться это отклонение. Для решения этого вопроса существует много различных способов, из которых наиболее употребительны на практике следующие три:
1. Среднее уклонение. За ориентировочное значение случайной величины |х — х | естественнее
102
РАССЕЯНИЕ И СРЕДНИЕ УКЛОНЕНИЯ
[ГЛ 10
всего принять ее среднее значение \х— х\. Это среднее значение абсолютной величины уклонения называют средним уклонением величины х. Если случайная величина х задается таблицей
*1 *2 ...
Pi Рг ... Ph
то таблица случайной величины х — имеет вид
|х,-х| \х2-х\ ... \xk-x\
Pi Рг ... Pk
k
где х— 2 Xipi, для среднего уклонения Мх величины i=i
л: получаем формулу
k
MJC-=\x-x\='2i\xi-x\pi,
i=I
k
где, разумеется, снова х. = 2 xiPi- Для величин, за-
1=1
данных таблицами (I) и (II), х = 0, и мы соответственно имеем:
Мж, = 0,01 и Мхп = 100.
Впрочем, оба примера тривиальны, так как в обоих случаях абсолютная величина уклонения оказывается способной принимать только одно значение, утрачивая, таким образом, характер случайной величины.
Вычислим еще средние уклонения для случайных величин, определяемых таблицами (Г) и (II') на стр. 83. Мы видели там, что средине значения этих величин соответственно равны 2,1 и 2,2, т. е. очень близки друг к другу. Среднее уклонение для первой величины равно
11-2,11-0.4+ 12-2,1 |-0,1 +|3-2,1 |-0,5 = 0,9,
ИЗМЕРЕНИЕ РАССЕЯНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
103
а для второй —
| 1 - 2,2 | • 0,1 +1 2 - 2,2 | • 0,6 +1 3 - 2,2 | • 0,3 = 0,48.
Для второй величины среднее уклонение почти вдвое меньше, чем для первой; практически это означает, очевидно, что хотя в среднем оба стрелка выбивают примерно одинаковое число очков и в этом смысле могут быть признаны одинаково искусными, но в то же времд у второго стрелка стрельба носит значительно более ровный характер, его результаты значительно менее рассеяны, чем у первого стрелка, который при том же самом среднем числе очков стреляет неровно, часто давая результаты как много лучше, так и много хуже средних.
2. Среднее квадратическое уклонение. Измерять ориентировочную величину уклонения с помощью среднего уклонения — очень естественно, но вместе с тем и очень неудобно практически, так как вычисления и оценки с абсолютными величинами часто бывают сложны, а иногда и совсем недоступны. Поэтому на практике для величины уклонения обычно предпочитают вводить другую меру.,
Так же, как и уклонение х— х случайной величины х от ее среднего значения х, квадрат (л; — х)2 этого уклонения есть случайная величина, таблица которой в наших старых обозначениях имеет вид -
(x2 --- X)2 ... (xk - xY
Pi P2 ... Pk
